Умножить матрицу на матрицу онлайн с решением. Умножение матриц онлайн. Умножение матрицы на вектор
состоящая из т строк и п столбцов, называется матрицей размера n × m . Числа а 11 , а 12 , ..., а mn называются ее элементами. Таблицу, обозначающую матрицу, записывают в круглых скобках и обозначают А = (а ij ).
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов, - порядком квадратной матрицы.
Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним -побочной диагональю.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие по главной диагонали равны единице, а остальные – нули, называется единичной и обозначается Е.
Две матрицы и называются равными, если число их строк и столбцов равны и если равны элементы, стоящие на соответственных местах этих матриц.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через Н .
По определению, чтобы умножить матрицу А на число r, нужно каждый элемент матрицы А умножить на r.
Пример.
Дана матрица А
=
, найти
матрицу 3А
.
3
А =
3
=
Суммой матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны суммам соответственных элементов матриц А и В . Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов.
Пример.
Даны матрицы А
=
иВ
=
.
Найти матрицуС
= А + В.
С
=
Свойства сложения матриц:
А+В=В+А
(А+ В ) + С = А+ (В + С)
А + Н = А
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ, у которой столько же строк, сколько их в матрице А , и столько же столбцов, сколько их в матрице В.
Произведением двух матриц А (m × p ) и В (p × n ) называется матрица С (m × n ), элементы которой определены по правилу
С
ij
=
Замечание . Для того, чтобы перемножить две матрицы нужно элементы i -ой строки первой матрицы умножить на элементы j -ого столбца второй матрицы и сложить полученные произведения. Получим элемент новой матрицы с индексом ij .
Пример. Даны матрицы а и в. ;. Найти произведение матриц ав.
АВ=
=
=
Пример. Даны матрицы А
и В
.
А
=
иВ =
.
Решение: А = (2X3), В = (3X2) => АВ = (2X2)
АВ=
=
=
Свойства умножения матриц:
АВ ВА;
(АВ)С=А(ВС);
АЕ = ЕА = А
(АВ )k = (AB)k= A(Bk)
(A+B)C = AB +BC
A(B+C) = AB + AC/
Транспонированной матрицей А T называется матрица, у которой строки записаны вместо столбцов, а столбцы – вместо строк.
Пример.
Пусть дана матрица А=
,
тогда
А
T
=
Определители.
Определителем
второго порядка,
соответствующий матрице А
=
,
называется число
=а
11 а
22
- а
12 а
21 .
Пример. Вычислить определителем второго порядка.
= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.
Определителем третьего порядка, соответствующий матрице
А
=
,
называется число
=а
11
а
22
а
33
+а
12
а
23
а
31
+
а
13
а
21
а
32
-
а
13
а
22
а
31
-
а
12
а
21
а
33
–а
11
а
23
а
32.
Чтобы запомнить какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно правило названное правилом треугольника, изображенное на рис. 1.
« + » « - »
Рисунок 1.
Пример. Вычислить определитель
Второй способ вычисления определителей третьего порядка – это способ вычисления определителей третьего порядка, заключается в дописывании первых двух столбцов, в нахождении произведений по главной диагонали и параллелях к ней и по побочной диагонали и параллелях к ней.
= а 11 а 22 а 33 +а 12 а 23 а 31 + а 13 а 21 а 32 - а 13 а 22 а 31 - а 12 а 21 а 33 –а 11 а 23 а 32.
Свойства определителей :
Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его знак изменится на противоположный.
Если в определителе поменять местами строки и столбцы, то его знак и величина не изменится.
Если в определителе две строки пропорциональны (равны), то он равен нулю.
Если в определителе какую либо строку (столбец) умножить на некоторое число и сложить с другой строкой (столбцом), то его значение не изменится.
Если в определителе элементы какой либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Если определитель содержит нулевую строку или столбец, то он равен нулю.
Минором М ij элемента определителя а ij называется определитель, получаемый из исходного путем вычеркивания i - ой строки и j -ого столбца на которых расположен этот элемент.
Алгебраическим дополнением А ij элемента определителя а ij называется минор умноженный на (-1) i + j .
Третий способ вычисления определителей – с помощью теоремы разложения.
Теорема разложения: Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Пример. Вычислить определитель третьего порядка, разложив определитель по элементам первой строки.
=
5· (-1) 1+1 ·
+ 3 · (-1) 1+2 ·
+ 2·(-1) 1+3 ·
= 68.
Этот же определитель можно вычислить с помощью свойства 4), а затем применить теорему разложения. В нашем примере образуем нули в первом столбце. Для этого к элементам первой строки прибавим элементы второй строки, умноженной на 5, а к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженной на 7. И полученную матрицу разложим по элементам первого столбца.
=
=
0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.
За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Умножением матриц онлайн будет являться матрица , каждый элемент которой вычисляется как скалярное произведение строк первой матрицы на соответствующие столбцы второй матрицы по правилу умножения матриц . При умножении матриц онлайн , каждый элемент полученной матрицы будет результатом умножения строк одной матрицы на столбцы другой матрицы согласно правилу произведения матриц . Найти онлайн произведение двух матриц допустимых размерностей сводится к нахождению матрицы соответствующей им размерности. Операция умножения онлайн двух матриц размерностей NxK и KxM сводится к нахождению матрицы размерности MxN. Элементы этой матрицы составляют скалярное произведение умножаемых матриц , это результат умножения матриц онлайн . Задача по нахождению произведения матриц онлайн или операция умножения матриц онлайн заключается в умножении строк на столбцы матриц согласно правилу умножения матриц . www.сайт находит произведение матриц заданных размерностей в режиме онлайн . Умножение матриц онлайн заданной размерности - это нахождение соответствующей размерности матрицы, элементами которой будут скалярные произведения соответствующих строк и столбцов умножаемых матриц . Нахождение произведения матриц онлайн широко распространено в теории матриц , а так же линейной алгебры. Произведение матриц онлайн используется для определения результирующей матрицы от умножения заданных матриц . Для того, чтобы вычислить произведение матриц или определить умножение матриц онлайн , необходимо затратить не мало времени, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет произведение матриц онлайн от умножения двух заданных матриц онлайн . При этом ответ по нахождению произведения матриц будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при умножении матриц онлайн будут иррациональными. На сайте www.сайт допускаются символьные записи в элементах матриц , то есть произведение матриц онлайн может быть представлено в общем символьном виде при умножении матриц онлайн . Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи на умножение матриц онлайн , используя сайт www.сайт . При совершении операции умножения матриц онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему умножение матриц онлайн . Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.сайт безусловно будет являться удобным инструментом для проверки умножения матриц онлайн .
Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j -го столбца матрицы В .
Из этого определения следует формула элемента матрицы C :
Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .
Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B , если
,
.
Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:
На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B , произведения которых складываются для получения элемента матрицы C .
В результате получаем элементы произведения матриц:
Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:
.
Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .
Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:
Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:
В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .
Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C , которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:
а) 2 Х 10 и 10 Х 5;
б) 10 Х 2 и 2 Х 5;
Пример 3. Найти произведение матриц A и B , если:
.
A B - 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 2.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 5. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B C = AB - 2 X 1.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 6. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 3, число столбцов в матрице B - 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 3 X 3.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 7. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 1, число столбцов в матрице B - 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 1 X 1.
Вычисляем элемент матрицы C = AB .
Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке "Компьютеры и программирование".
Возведение матрицы в степеньВозведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n -ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:
Пример 8. Дана матрица . Найти A ² и A ³ .
Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9. Дана матрица
Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.
Свойства произведения двух матрицСвойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А, т.е. АЕ = ЕА = А.
Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.
Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы
на единичную матрицу справа и слева.
Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где
-
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С
= АЕ
:
Получается, что АЕ = А .
Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :
Сложение матриц:
Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц , у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В c ij = a ij + b ij Аналогично определяется разность матриц .
Умножение матрицы на число:
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что
b ij = k × a ij . В = k × A b ij = k × a ij . Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.
Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А - А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С - матрицы, α и β - числа.
Умножение матриц (Произведение матриц):
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы . Произведением матрицы А m×n на матрицу В n×p , называется матрица С m×p такая, что с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица , Е - единичная матрица того же размера.
Свойства умножения матриц:
Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица , которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А
Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ) Т = В Т А Т; 7. (АВС) Т = С Т В Т А Т; 8. (А + В) Т = А Т + В Т;
2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы . Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы , в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Свойства определителей матриц
Свойства определителей матриц:
Свойство № 1:
Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А| Т
Следствие:
Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов.
Свойство № 2:
При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.:
Свойство № 3:
Определитель матрицы , имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
Свойство № 4:
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя .
Следствия из свойств № 3 и № 4:
Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю.
Свойство № 5:
определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю.
Свойство № 6:
Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:
Свойство № 7:
Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.
Пример применения свойств для вычисления определителя матрицы :
1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.