Знаменатель геометрической прогрессии: формулы и свойства. Геометрическая прогрессия и ее формула Знаменатель геометрической прогрессии формула
Урок и презентация на тему: "Числовые последовательности. Геометрическая прогрессия"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Степени и корни
Функции и графики
Ребята, сегодня мы познакомимся с еще одним видом прогрессии.
Тема сегодняшнего занятия - геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия
Определение. Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется геометрической прогрессией.Зададим нашу последовательность рекуррентно: $b_{1}=b$, $b_{n}=b_{n-1}*q$,
где b и q – определенные заданные числа. Число q называется знаменателем прогрессии.
Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице, а $q=2$.
Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми,
а $q=1$.
Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем,
а $q=-1$.
Геометрическая прогрессия обладает свойствами монотонности.
Если $b_{1}>0$, $q>1$,
то последовательность возрастающая.
Если $b_{1}>0$, $0
Последовательность принято обозначать в виде: $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ..., b_{n}, ...$.
Также как и в арифметической прогрессии, если в геометрической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной геометрической прогрессией .
$b_{1}, b_{2}, b_{3}, ..., b_{n-2}, b_{n-1}, b_{n}$.
Отметим, если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов членов, также является геометрической прогрессией. У второй последовательность первый член равен $b_{1}^2$, а знаменатель равен $q^2$.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии
Геометрическую прогрессию можно задавать и в аналитической форме. Давайте посмотрим, как это сделать:$b_{1}=b_{1}$.
$b_{2}=b_{1}*q$.
$b_{3}=b_{2}*q=b_{1}*q*q=b_{1}*q^2$.
$b_{4}=b_{3}*q=b_{1}*q^3$.
$b_{5}=b_{4}*q=b_{1}*q^4$.
Мы легко замечаем закономерность: $b_{n}=b_{1}*q^{n-1}$.
Наша формула называется "формулой n-ого члена геометрической прогрессии".
Вернемся к нашим примерам.
Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице,
а $q=2$.
$b_{n}=1*2^{n}=2^{n-1}$.
Пример. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен шестнадцати, а $q=\frac{1}{2}$.
$b_{n}=16*(\frac{1}{2})^{n-1}$.
Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми, а $q=1$.
$b_{n}=8*1^{n-1}=8$.
Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем, а $q=-1$.
$b_{n}=3*(-1)^{n-1}$.
Пример. Дана геометрическая прогрессия $b_{1}, b_{2}, …, b_{n}, … $.
а) Известно,что $b_{1}=6, q=3$. Найти $b_{5}$.
б) Известно,что $b_{1}=6, q=2, b_{n}=768$. Найти n.
в) Известно,что $q=-2, b_{6}=96$. Найти $b_{1}$.
г) Известно,что $b_{1}=-2, b_{12}=4096$. Найти q.
Решение.
а) $b_{5}=b_{1}*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^{n-1}=6*2^{n-1}=768$.
$2^{n-1}=\frac{768}{6}=128$,так как $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
в) $b_{6}=b_{1}*q^5=b_{1}*(-2)^5=-32*b_{1}=96 => b_{1}=-3$.
г) $b_{12}=b_{1}*q^{11}=-2*q^{11}=4096 => q^{11}=-2048 => q=-2$.
Пример. Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равны 192, сумма пятого и шестого члена прогрессии равна 192. Найти десятый член этой прогрессии.
Решение.
Нам известно, что: $b_{7}-b_{5}=192$ и $b_{5}+b_{6}=192$.
Мы так же знаем: $b_{5}=b_{1}*q^4$; $b_{6}=b_{1}*q^5$; $b_{7}=b_{1}*q^6$.
Тогда:
$b_{1}*q^6-b_{1}*q^4=192$.
$b_{1}*q^4+b_{1}*q^5=192$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases}b_{1}*q^4(q^2-1)=192\\b_{1}*q^4(1+q)=192\end{cases}$.
Приравняв, наши уравнения получим:
$b_{1}*q^4(q^2-1)=b_{1}*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Получили два решения q: $q_{1}=2, q_{2}=-1$.
Последовательно подставим во второе уравнение:
$b_{1}*2^4*3=192 => b_{1}=4$.
$b_{1}*(-1)^4*0=192 =>$ нет решений.
Получили что: $b_{1}=4, q=2$.
Найдем десятый член: $b_{10}=b_{1}*q^9=4*2^9=2048$.
Сумма конечной геометрической прогрессии
Пусть у нас есть конечная геометрическая прогрессия. Давайте, также как и для арифметической прогрессии, посчитаем сумму ее членов.Пусть дана конечная геометрическая прогрессия: $b_{1},b_{2},…,b_{n-1},b_{n}$.
Введем обозначение суммы ее членов: $S_{n}=b_{1}+b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n}$.
В случае, когда $q=1$. Все члены геометрической прогрессии равны первому члену, тогда очевидно, что $S_{n}=n*b_{1}$.
Рассмотрим теперь случай $q≠1$.
Умножим указанную выше сумму на q.
$S_{n}*q=(b_{1}+b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})*q=b_{1}*q+b_{2}*q+⋯+b_{n-1}*q+b_{n}*q=b_{2}+b_{3}+⋯+b_{n}+b_{n}*q$.
Заметим:
$S_{n}=b_{1}+(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})$.
$S_{n}*q=(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})+b_{n}*q$.
$S_{n}*q-S_{n}=(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})+b_{n}*q-b_{1}-(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})=b_{n}*q-b_{1}$.
$S_{n}(q-1)=b_{n}*q-b_{1}$.
$S_{n}=\frac{b_{n}*q-b_{1}}{q-1}=\frac{b_{1}*q^{n-1}*q-b_{1}}{q-1}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.
$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.
Мы получили формулу суммы конечной геометрической прогрессии.
Пример.
Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 4, а знаменатель 3.
Решение.
$S_{7}=\frac{4*(3^{7}-1)}{3-1}=2*(3^{7}-1)=4372$.
Пример.
Найти пятый член геометрической прогрессии, о которой известно: $b_{1}=-3$; $b_{n}=-3072$; $S_{n}=-4095$.
Решение.
$b_{n}=(-3)*q^{n-1}=-3072$.
$q^{n-1}=1024$.
$q^{n}=1024q$.
$S_{n}=\frac{-3*(q^{n}-1)}{q-1}=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^{n}-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
Ребята, дана геометрическая прогрессия. Давайте рассмотрим три последовательных её члена: $b_{n-1},b_{n},b_{n+1}$.Мы знаем что:
$\frac{b_{n}}{q}=b_{n-1}$.
$b_{n}*q=b_{n+1}$.
Тогда:
$\frac{b_{n}}{q}*b_{n}*q=b_{n}^{2}=b_{n-1}*b_{n+1}$.
$b_{n}^{2}=b_{n-1}*b_{n+1}$.
Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов, кроме первого и последнего.
Если заранее неизвестно, какой вид у последовательности, но известно что: $b_{n}^{2}=b_{n-1}*b_{n+1}$.
Тогда можно смело говорить, что это геометрическая прогрессия.
Числовая последовательность является геометрической прогрессией, только когда квадрат каждого её члена равен произведению двух соседних с ним членов прогрессии. Не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена.
Давайте посмотрим вот на это тождество: $\sqrt{b_{n}^{2}}=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$.
$|b_{n}|=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$.
$\sqrt{a*b}$ называется средним геометрическим чисел a и b.
Модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.
Пример.
Найти такие х, что бы $х+2; 2x+2; 3x+3$ являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Решение.
Воспользуемся характеристическим свойством:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_{1}=2$ и $x_{2}=-1$.
Подставим последовательно в исходные выражение, наши решения:
При $x=2$, получили последовательность: 4;6;9 – геометрическая прогрессия, у которой $q=1,5$.
При $х=-1$, получили последовательность: 1;0;0.
Ответ: $х=2.$
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите восьмой первый член геометрической прогрессии 16;-8;4;-2… .2. Найдите десятый член геометрической прогрессии 11,22,44… .
3. Известно, что $b_{1}=5, q=3$. Найти $b_{7}$.
4. Известно, что $b_{1}=8, q=-2, b_{n}=512$. Найти n.
5. Найдите сумму первых 11 членов геометрической прогрессии 3;12;48… .
6. Найти такие х, что $3х+4; 2x+4; x+5$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии. 22.09.2018 22:00
Геометрическая прогрессия, наряду с арифметической, является важным числовым рядом, который изучается в школьном курсе алгебры в 9 классе. В данной статье рассмотрим знаменатель геометрической прогрессии, и то, как его значение влияет на ее свойства.
Определение прогрессии геометрической
Для начала приведем определение этого числового ряда. Прогрессией геометрической называют такой ряд рациональных чисел, который формируется путем последовательного умножения его первого элемента на постоянное число, носящее название знаменателя.
Например, числа в ряду 3, 6, 12, 24, ... - это прогрессия геометрическая, поскольку если умножить 3 (первый элемент) на 2, то получим 6. Если 6 умножить на 2, то получим 12, и так далее.
Члены рассматриваемой последовательности принято обозначать символом ai, где i - это целое число, указывающее на номер элемента в ряду.
Приведенное выше определение прогрессии можно записать на языке математики следующим образом: an = bn-1 * a1, где b - знаменатель. Проверить эту формулу легко: если n = 1, то b1-1 = 1, и мы получаем a1 = a1. Если n = 2, тогда an = b * a1, и мы снова приходим к определению рассматриваемого ряда чисел. Аналогичные рассуждения можно продолжить для больших значений n.
Знаменатель прогрессии геометрической
Число b полностью определяет, какой характер будет носить весь числовой ряд. Знаменатель b может быть положительный, отрицательный, а также иметь значение больше единицы или меньше. Все перечисленные варианты приводят к разным последовательностям:
- b > 1. Имеет место возрастающий ряд рациональных чисел. Например, 1, 2, 4, 8, ... Если элемент a1 будет отрицательным, тогда вся последовательность будет возрастать только по модулю, но убывать с учетом знака чисел.
- b = 1. Часто такой случай не называют прогрессией, поскольку имеет место обычный ряд одинаковых рациональных чисел. Например, -4, -4, -4.
Формула для суммы
Перед тем как перейти к рассмотрению конкретных задач с использованием знаменателя рассматриваемого вида прогрессии, следует привести важную формулу для суммы ее первых n элементов. Формула имеет вид: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Получить это выражение можно самостоятельно, если рассмотреть рекурсивную последовательность членов прогрессии. Также заметим, что в приведенной формуле достаточно знать только первый элемент и знаменатель, чтобы найти сумму произвольного числа членов.
Бесконечно убывающая последовательность
Выше было дано пояснение, что она собой представляет. Теперь, зная формулу для Sn, применим ее к этому числовому ряду. Так как любое число, модуль которого не превышает 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть b∞ => 0, если -1
Поскольку разность (1 - b) всегда будет положительной, независимо от значения знаменателя, то знак суммы убывающей бесконечно прогрессии геометрической S∞ однозначно определяется знаком ее первого элемента a1.
Теперь рассмотрим несколько задач, где покажем, как применять полученные знания на конкретных числах.
Задача № 1. Вычисление неизвестных элементов прогрессии и суммы
Дана прогрессия геометрическая, знаменатель прогрессии 2, а ее первый элемент 3. Чему будут равны ее 7-й и 10-й члены, и какова сумма ее семи начальных элементов?
Условие задачи составлено достаточно просто и предполагает непосредственное использование вышеназванных формул. Итак, для вычисления элемента с номером n используем выражение an = bn-1 * a1. Для 7-го элемента имеем: a7 = b6 * a1, подставляя известные данные, получаем: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогичным образом поступаем для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.
Воспользуемся известной формулой для суммы и определим эту величину для 7-ми первых элементов ряда. Имеем: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Задача № 2. Определение суммы произвольных элементов прогрессии
Пусть -2 равен знаменатель прогрессии в геометрической прогрессии bn-1 * 4, где n - целое число. Необходимо определить сумму с 5-го по 10-й элемент этого ряда включительно.
Поставленная проблема не может быть решена непосредственно с использованием известных формул. Решить ее можно 2-мя различными методами. Для полноты изложения темы приведем оба.
Метод 1. Идея его проста: необходимо рассчитать две соответствующие суммы первых членов, а затем вычесть из одной другую. Вычисляем меньшую сумму: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Теперь вычисляем большую сумму: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Отметим, что в последнем выражении суммировались только 4 слагаемых, поскольку 5-е уже входит в сумму, которую требуется вычислить по условию задачи. Наконец, берем разницу: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Перед тем, как подставлять цифры и считать, можно получить формулу для суммы между членами m и n рассматриваемого ряда. Поступаем абсолютно так же, как в методе 1, только работаем сначала с символьным представлением суммы. Имеем: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В полученное выражение можно подставлять известные числа и вычислять конечный результат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Задача № 3. Чему равен знаменатель?
Пусть a1 = 2, найдите знаменатель прогрессии геометрической, при условии, что ее бесконечная сумма составляет 3, и известно, что это убывающий ряд чисел.
По условию задачи нетрудно догадаться, какой формулой следует пользоваться для ее решения. Конечно же, для суммы прогрессии бесконечно убывающей. Имеем: S∞ = a1 / (1 - b). Откуда выражаем знаменатель: b = 1 - a1 / S∞. Осталось подставить известные значения и получить требуемое число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можно качественно проверить этот результат, если вспомнить, что для этого типа последовательности модуль b не должен выходить за пределы 1. Как видно, |-1 / 3|
Задача № 4. Восстановление ряда чисел
Пусть даны 2 элемента числового ряда, например, 5-й равен 30 и 10-й равен 60. Необходимо по этим данным восстановить весь ряд, зная, что он удовлетворяет свойствам прогрессии геометрической.
Чтобы решить задачу, необходимо для начала записать для каждого известного члена соответствующее выражение. Имеем: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Теперь разделим второе выражение на первое, получим: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Отсюда определяем знаменатель, взяв корень пятой степени от отношения известных из условия задачи членов, b = 1,148698. Полученное число подставляем в одно из выражений для известного элемента, получаем: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Таким образом, мы нашли, чему равен знаменатель прогрессии bn, и геометрическую прогрессию bn-1 * 17,2304966 = an, где b = 1,148698.
Где применяются прогрессии геометрические?
Если бы не существовало применения этого числового ряда на практике, то его изучение сводилось бы к чисто теоретическому интересу. Но такое применение существует.
Ниже перечислены 3 самых знаменитых примера:
- Парадокс Зенона, в котором ловкий Ахиллес не может догнать медленную черепаху, решается с использованием понятия убывающей бесконечно последовательности чисел.
- Если на каждую клетку шахматной доски класть зерна пшеницы так, что на 1-ю клетку положить 1 зерно, на 2-ю - 2, на 3-ю - 3 и так далее, то чтобы заполнить все клетки доски понадобится 18446744073709551615 зерен!
- В игре "Башня Ханоя", чтобы переставить диски с одного стержня на другой, необходимо выполнить 2n - 1 операций, то есть их число растет в геометрической прогрессии от количества используемых дисков n.
Улица Киевян, 16 0016 Армения, Ереван +374 11 233 255
Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, …
Свойства геометрической прогрессии
Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.
Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .
Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).
Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.
Формула n-го члена прогрессии
Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии имеет вид:
bn=b1*q^(n-1), где n принадлежит множеству натуральных чисел N.
Рассмотрим простой пример:
В геометрической прогрессии b1=6, q=3, n=8 найти bn.
Воспользуемся формулой n-ого члена геометрической прогрессии.
Пример геометрической прогрессии : 2, 6, 18, 54, 162.
Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:
2 · 3 = 6
6 · 3 = 18
18 · 3 = 54
54 · 3 = 162 .
В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.
Пример :
Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем чевертый член и возведем его в квадрат:
54 2 = 2916.
Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:
18 · 162 = 2916.
Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.
Пример 1 : Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.
Дано:
b
1 = 2
q
= 1,5
n
= 4
————
b
4 - ?
Решение .
Применяем формулу b n
= b 1 · q n
- 1 , вставляя в нее соответствующие значения:
b
4 = 2 · 1,5 4 - 1 = 2 · 1,5 3 = 2 · 3,375 = 6,75.
Ответ : Четвертый член заданной геометрической прогрессии - число 6,75.
Пример 2 : Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.
Дано:
b
1 = 12
b
3 = 192
————
b
5 - ?
Решение .
1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b 3:
b 3 = b 1 · q 3 - 1 = b 1 · q 2
Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:
b
3 192
q
2 = —— = —— = 16
b
1 12
q = √16 = 4 или -4.
2) Осталось найти значение b
5 .
Если q
= 4, то
b 5 = b 1 q 5-1 = 12 · 4 4 = 12 · 256 = 3072.
При q = -4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.
Ответ : Пятый член заданной геометрической прогрессии - это число 3072.
Пример : Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (b n ), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3.
Дано:
b 1 = 2
q = 3
n
= 5
————
S
5 - ?
Решение .
Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:
b
1 (q
5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 · (243 - 1) 484
S
5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q
- 1 3 - 1 2 2
Ответ : Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое - только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.
Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:
Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Например, для нашей последовательности:
Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.
Число с номером называетмя -ным членом последовательности.
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .
В нашем случае:
Самые распространенные виды прогрессии это арифметическая и геометрическая. В этой теме мы поговорим о втором виде – геометрической прогрессии .
Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.
Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?
В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на. Ещё через год уже эта сумма увеличится на, т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на и так далее. Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов – процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.
Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил человек, те в свою очередь заразили еще по человека, и таким образом вторая волна заражения – человек, а те в свою очередь, заразили еще … и так далее…
Кстати, финансовая пирамида, та же МММ – это простой и сухой расчет по свойствам геометрической прогрессии. Интересно? Давай разбираться.
Геометрическая прогрессия.
Допустим, у нас есть числовая последовательность:
Ты сразу же ответишь, что это легко и имя такой последовательности - с разностью ее членов. А как на счет такого:
Если ты будешь вычитать из последующего числа предыдущее, то ты увидишь, что каждый раз получается новая разница (и т.д.), но последовательность определенно существует и ее несложно заметить – каждое следующие число в раз больше предыдущего!
Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается.
Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число . Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Ограничения, что первый член { } не равен и не случайны. Допустим, что их нет, и первый член все же равен, а q равно, хм.. пусть, тогда получается:
Согласись, что это уже никакая не прогрессия.
Как ты понимаешь, те же самые результаты мы получим, если будет каким-либо числом, отличным от нуля, а. В этих случаях прогрессии просто не будет, так как весь числовой ряд будут либо все нули, либо одно число, а все остальные нули.
Теперь поговорим поподробнее о знаменателе геометрической прогрессии, то есть о.
Повторим: – это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.
Как ты думаешь, каким может быть? Правильно, положительным и отрицательным, но не нулем (мы говорили об этом чуть выше).
Допустим, что у нас положительное. Пусть в нашем случае, а. Чему равен второй член и? Ты без труда ответишь, что:
Все верно. Соответственно, если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны .
А что если отрицательное? Например, а. Чему равен второй член и?
Это уже совсем другая история
Попробуй посчитать член данной прогрессии. Сколько у тебя получилось? У меня. Таким образом, если, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются. То есть, если ты увидишь прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на отрицательный. Это знание может помочь тебе проверять себя при решении задач на эту тему.
Теперь немного потренируемся: попробуй определить, какие числовые последовательности являются геометрической прогрессией, а какие арифметической:
Разобрался? Сравним наши ответы:
- Геометрическая прогрессия – 3, 6.
- Арифметическая прогрессия – 2, 4.
- Не является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями - 1, 5, 7.
Вернемся к нашей последней прогрессии, а и попробуем так же как и в арифметической найти ее член. Как ты уже догадываешься, есть два способа его нахождения.
Последовательно умножаем каждый член на.
Итак, -ой член описанной геометрической прогрессии равен.
Как ты уже догадываешься, сейчас ты сам выведешь формулу, которая поможет найти тебе любой член геометрической прогрессии. Или ты ее уже вывел для себя, расписывая, как поэтапно находить -ой член? Если так, то проверь правильность твоих рассуждений.
Проиллюстрируем это на примере нахождения -го члена данной прогрессии:
Иными словами:
Найди самостоятельно значение члена заданной геометрической прогрессии.
Получилось? Сравним наши ответы:
Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно умножали на каждый предыдущий член геометрической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:
Выведенная формула верна для всех значений - как положительных, так и отрицательных. Проверь это самостоятельно, рассчитав и члены геометрической прогрессии со следующими условиями: , а.
Посчитал? Сравним полученные результаты:
Согласись, что находить член прогрессии можно было бы так же как и член, однако, есть вероятность неправильно посчитать. А если мы нашли уже -ый член геометрической прогрессии, а, то что может быть проще, чем воспользоваться «обрезанной» частью формулы.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Совсем недавно мы говорили о том, что может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей .
Как ты думаешь, почему такое название?
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из членов.
Допустим, а, тогда:
Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в раза, но будет ли какое-либо число? Ты сразу же ответишь – «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая – убывает, убывает, а нулем никогда не становится.
Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула приобретает следующий вид:
На графиках нам привычно строить зависимость от, поэтому:
Суть выражения не изменилась: в первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера, а во второй записи – мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за, а порядковый номер обозначили не как, а как. Все, что осталось сделать – построить график.
Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:
Видишь? Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая. Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата и:
Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при, если первый ее член также равен. Проанализируй, в чем разница с нашим предыдущим графиком?
Справился? Вот какой график получился у меня:
Теперь, когда ты полностью разобрался в основах темы геометрической прогрессии: знаешь, что это такое, знаешь, как найти ее член, а также знаешь, что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, перейдем к ее основному свойству.
Свойство геометрической прогрессии.
Помнишь свойство членов арифметической прогрессии? Да, да, как найти значение определенного числа прогрессии, когда есть предыдущее и последующее значения членов данной прогрессии. Вспомнил? Вот это:
Теперь перед нами стоит точно такой же вопрос для членов геометрической прогрессии. Чтобы вывести подобную формулу, давай начнем рисовать и рассуждать. Вот увидишь, это очень легко, и если ты забудешь, то сможешь вывести ее самостоятельно.
Возьмем еще одну простую геометрическую прогрессию, в которой нам известны и. Как найти? При арифметической прогрессии это легко и просто, а как здесь? На самом деле в геометрической тоже нет ничего сложного - необходимо просто расписать по формуле каждое данное нам значение.
Ты спросишь, и что теперь нам с этим делать? Да очень просто. Для начала изобразим данные формулы на рисунке, и попытаемся сделать с ними различные манипуляции, чтобы прийти к значению.
Абстрагируемся от чисел, которые у нас даны, сосредоточимся только на их выражении через формулу. Нам необходимо найти значение, выделенное оранжевым цветом, зная соседствующие с ним члены. Попробуем произвести с ними различные действия, в результате которых мы сможем получить.
Сложение.
Попробуем сложить два выражения и, мы получим:
Из данного выражения, как ты видишь, мы никак не сможем выразить, следовательно, будем пробовать другой вариант – вычитание.
Вычитание.
Как ты видишь, из этого мы тоже не можем выразить, следовательно, попробуем умножить данные выражения друг на друга.
Умножение.
А теперь посмотри внимательно, что мы имеем, перемножая данные нам члены геометрической прогрессии в сравнении с тем, что необходимо найти:
Догадался о чем я говорю? Правильно, чтобы найти нам необходимо взять квадратный корень от перемноженных друг на друга соседствующих с искомым чисел геометрической прогрессии:
Ну вот. Ты сам вывел свойство геометрической прогрессии. Попробуй записать эту формулу в общем виде. Получилось?
Забыл условие при? Подумай, почему оно важно, например, попробуй самостоятельно просчитать, при. Что получится в этом случае? Правильно, полная глупость так как формула выглядит так:
Соответственно, не забывай это ограничение.
Теперь посчитаем, чему же равно
Правильный ответ – ! Если ты при расчете не забыл второе возможное значение, то ты большой молодец и сразу можешь переходить к тренировке, а если забыл – прочитай то, что разобрано далее и обрати внимание, почему в ответе необходимо записывать оба корня.
Нарисуем обе наши геометрические прогрессии – одну со значением, а другую со значением и проверим, имеют ли обе из них право на существование:
Для того, чтобы проверить, существует ли такая геометрическая прогрессия или нет, необходимо посмотреть, одинаковое ли между всеми ее заданными членами? Рассчитай q для первого и второго случая.
Видишь, почему мы должны писать два ответа? Потому что знак у искомого члена зависит от того, какой – положительный или отрицательный! А так как мы не знаем, какой он, нам необходимо писать оба ответа и с плюсом, и с минусом.
Теперь, когда ты усвоил основные моменты и вывел формулу на свойство геометрической прогрессии, найди, зная и
Сравни полученные ответы с правильными:
Как ты думаешь, а если нам были бы даны не соседние с искомым числом значения членов геометрической прогрессии, а равноудаленные от него. Например, нам необходимо найти, а даны и. Можем ли мы в этом случае использовать выведенную нами формулу? Попробуй точно так же подтвердить или опровергнуть эту возможность, расписывая из чего состоит каждое значение, как ты делал, выводя изначально формулу, при.
Что у тебя получилось?
Теперь опять посмотри внимательно.
и, соответственно:
Из этого мы можем сделать вывод, что формула работает не только при соседствующих с искомым членах геометрической прогрессии, но и с равноудаленными от искомого членами.
Таким образом, наша первоначальная формула приобретает вид:
То есть, если в первом случае мы говорили, что, то сейчас мы говорим, что может быть равен любому натуральному числу, которое меньше. Главное, чтобы был одинаков для обоих заданных чисел.
Потренируйся на конкретных примерах, только будь предельно внимателен!
- , . Найти.
- , . Найти.
- , . Найти.
Решил? Надеюсь, ты был предельно внимателен и заметил небольшой подвох.
Сравниваем результаты.
В первых двух случаях мы спокойно применяем вышеописанную формулу и получаем следующие значения:
В третьем случае при внимательном рассмотрении порядковых номеров данных нам чисел, мы понимаем, что они не равноудалены от искомого нами числа: является предыдущим числом, а удалена на позиции, таким образом применить формулу не предоставляется возможным.
Как же ее решать? На самом деле это не так сложно, как кажется! Давай с тобой распишем, из чего состоит каждое данное нам и искомое числа.
Итак, у нас есть и. Посмотрим, что с ними можно сделать? Предлагаю разделить на. Получаем:
Подставляем в формулу наши данные:
Следующим шагом мы можем найти – для этого нам необходимо взять кубический корень из полученного числа.
А теперь смотрим еще раз что у нас есть. У нас есть, а найти нам необходимо, а он, в свою очередь равен:
Все необходимые данные для подсчета мы нашли. Подставляем в формулу:
Наш ответ: .
Попробуй решить еще одну такую же задачу самостоятельно:
Дано: ,
Найти:
Сколько у тебя получилось? У меня - .
Как ты видишь, по сути, тебе необходимо запомнить лишь одну формулу - . Все остальные ты без какого-либо труда можешь вывести самостоятельно в любой момент. Для этого просто напиши на листочке самую простую геометрическую прогрессию и распиши, чему согласно вышеописанной формуле равно каждое ее число.
Сумма членов геометрической прогрессии.
Теперь рассмотрим формулы, которые позволяют нам быстро посчитать сумму членов геометрической прогрессии в заданном промежутке:
Чтобы вывести формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии, умножим все части вышестоящего уравнения на. Получим:
Посмотри внимательно: что общего в последних двух формулах? Правильно, общие члены, например и так далее, кроме первого и последнего члена. Давай попробуем вычесть из 2-го уравнения 1-ое. Что у тебя получилось?
Теперь вырази через формулу члена геометрической прогрессии и подставь полученное выражение в нашу последнюю формулу:
Сгруппируй выражение. У тебя должно получиться:
Все, что осталось сделать – выразить:
Соответственно, в этом случае.
А что если? Какая формула работает тогда? Представь себе геометрическую прогрессию при. Что она из себя представляет? Правильно ряд одинаковых чисел, соответственно формула будет выглядеть следующим образом:
Как и по арифметической, так и по геометрической прогрессии существует множество легенд. Одна из них – легенда о Сете, создателе шахмат.
Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.
Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски пшеничное зерно, за вторую пшеничных зерна, за третью, за четвертую и т.д.
Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все клетки доски.
А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?
Начнем рассуждать. Так как по условию за первую клетку шахматной доски Сета попросил пшеничное зерно, за вторую, за третью, за четвертую и т.д., то мы видим, что в задаче речь идет о геометрической прогрессии. Чему равно в этом случае?
Правильно.
Всего клеток шахматной доски. Соответственно, . Все данные у нас есть, осталось только подставить в формулу и посчитать.
Чтобы представить хотя бы приблизительно «масштабы» данного числа, преобразуем, используя свойства степени:
Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет.
То есть:
квинтильонов квадрильонов триллиона миллиарда миллионов тысяч.
Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.
При высоте амбара м и ширине м длина его должна была бы простираться на км, - т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.
Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.
А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.
Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе человек. Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?
Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть человек. -ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода. Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А. Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:
Подставим наши данные в формулу суммы членов геометрической прогрессии:
Весь класс заболеет за дней. Не веришь формулам и числам? Попробуй изобразить «заражение» учеников самостоятельно. Получилось? Смотри, как это выглядит у меня:
Посчитай самостоятельно, за сколько дней ученики заболели бы гриппом, если каждый заражал бы по человека, а в классе училось человек.
Какое значение у тебя получилось? У меня получилось, что все начали болеть спустя дня.
Как ты видишь, подобная задача и рисунок к ней напоминает пирамиду, в которой каждый последующий «приводит» новых людей. Однако, рано или поздно настает такой момент, когда последние не могут никого привлечь. В нашем случае, если представить, что класс изолирован, человек из замыкают цепочку (). Таким образом, если бы человек были вовлечены в финансовую пирамиду, в которой деньги давались в случае, если ты приведешь двух других участников, то человек (или в общем случае) не привели бы никого, соответственно, потеряли бы все, что вложили в эту финансовую аферу.
Все, что было сказано выше, относится к убывающей или возрастающей геометрической прогрессии, но, как ты помнишь, у нас есть особый вид – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Как же считать сумму ее членов? И почему у данного вида прогрессии есть определенные особенности? Давай разбираться вместе.
Итак, для начала посмотрим еще раз на вот этот рисунок бесконечно убывающей геометрической прогрессии из нашего примера:
А теперь посмотрим на формулу суммы геометрической прогрессии, выведенную чуть ранее:
или
К чему у нас стремится? Правильно, на графике видно, что оно стремится к нулю. То есть при, будет почти равно, соответственно, при вычислении выражения мы получим почти. В связи с этим, мы считаем, что при подсчете суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, данной скобкой можно пренебречь, так как она будет равна.
- формула сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.
Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой суммы n членов, даже если или.
А теперь потренируемся.
- Найди сумму первых членов геометрической прогрессии с и.
- Найди сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с и.
Надеюсь, ты был предельно внимателен. Сравним наши ответы:
Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все, и настала пора переходить от теории к практике. Самые распространенные задачи на геометрическую прогрессию, встречающиеся на экзамене – это задачи на вычисление сложных процентов. Именно о них и пойдет речь.
Задачи на вычисление сложных процентов.
Ты наверняка слышал о так называемой формуле сложных процентов. Понимаешь ли ты, что она значит? Если нет, давай разбираться, так как осознав сам процесс, ты сразу поймешь, причем здесь геометрическая прогрессия.
Все мы ходим в банк и знаем, что существуют разные условия по вкладам: это и срок, и дополнительное обслуживание, и процент с двумя различными способами его начисления – простым и сложным.
С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада. То есть, если мы говорим о том, что мы кладем 100 рублей на год под, то зачислятся только в конце года. Соответственно, к окончанию вклада мы получим рублей.
Сложные проценты - это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов , т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.
Допустим, что мы кладем все те же рублей по годовых, но с ежемесячной капитализацией вклада. Что у нас получается?
Все ли тебе здесь понятно? Если нет, давай разбираться поэтапно.
Мы принесли в банк рублей. К концу месяца у нас на счете должна появиться сумма, состоящая из наших рублей плюс процентов по ним, то есть:
Согласен?
Мы можем вынести за скобку и тогда мы получим:
Согласись, эта формула уже больше похожа на написанную нами в начале. Осталось разобраться с процентами
В условии задачи нам сказано про годовых. Как ты знаешь, мы не умножаем на – мы переводим проценты в десятичные дроби, то есть:
Верно? Сейчас ты спросишь, а откуда взялось число? Очень просто!
Повторюсь: в условии задачи сказано про ГОДОВЫЕ
проценты, начисление которых происходит ЕЖЕМЕСЯЧНО
. Как ты знаешь, в году месяцев, соответственно, банк будет начислять нам в месяц часть от годовых процентов:
Осознал? А теперь попробуй написать, как будет выглядеть эта часть формулы, если я скажу, что проценты начисляются ежедневно.
Справился? Давай сравним результаты:
Молодец! Вернемся к нашей задаче: напиши, сколько будет начислено на наш счет на второй месяц, с учетом, что проценты начисляются на накопленную сумму вклада.
Вот что получилось у меня:
Или, иными словами:
Я думаю, что ты уже заметил закономерность и увидел во всем этом геометрическую прогрессию. Напиши, чему будет равен ее член, или, иными словами, какую сумму денежных средств мы получим в конце месяца.
Сделал? Проверяем!
Как ты видишь, если ты кладешь деньги в банк на год под простой процент, то ты получишь рублей, а если под сложный – рублей. Выгода небольшая, но так происходит только в течение -го года, а вот на более длительный период капитализация намного выгодней:
Рассмотрим еще один тип задач на сложные проценты. После того, в чем ты разобрался, это будет для тебя элементарно. Итак, задача:
Компания «Звезда» начала инвестировать в отрасль в 2000 году, имея капитал долларов. Каждый год, начиная с 2001 года, она получает прибыль, которая составляет от капитала предыдущего года. Сколько прибыли получит компания «Звезда» по окончанию 2003 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Капитал компании «Звезда» в 2000 году.
- капитал компании «Звезда» в 2001 году.
- капитал компании «Звезда» в 2002 году.
- капитал компании «Звезда» в 2003 году.
Либо мы можем написать кратко:
Для нашего случая:
2000 год, 2001 год, 2002 год и 2003 год.
Соответственно:
рублей
Заметь, в данной задаче у нас нет деления ни на, ни на, так как процент дан ЕЖЕГОДНЫЙ и начисляется он ЕЖЕГОДНО. То есть, читая задачу на сложные проценты, обрати внимание, какой процент дан, и в какой период он начисляется, и только потом приступай к вычислениям.
Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все.
Тренировка.
- Найдите член геометрической прогрессии, если известно, что, а
- Найдите сумму первых членов геометрической прогрессии, если известно, что, а
- Компания «МДМ Капитал» начала инвестировать в отрасль в 2003 году, имея капитал долларов. Каждый год, начиная с 2004 года, она получает прибыль, которая составляет от капитала предыдущего года. Компания «МСК Денежные потоки» стала инвестировать в отрасль в 2005 году в размере 10000 долларов, начиная получать прибыль с 2006 года в размере. На сколько долларов капитал одной компании больше другой по окончанию 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Ответы:
- Так как в условии задачи не сказано, что прогрессия бесконечная и требуется найти сумму конкретного числа ее членов, то расчет идет по формуле:
Компания «МДМ Капитал»:2003, 2004, 2005, 2006, 2007 года.
- увеличивается на 100%, то есть в 2 раза.
Соответственно:
рублей
Компания «МСК Денежные потоки»:2005, 2006, 2007 года.
- увеличивается на, то есть в раза.
Соответственно:
рублей
рублей
Подведем итоги.
1) Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
2) Уравнение членов геометрической прогрессии - .
3) может принимать любые значения, кроме и.
- если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны ;
- если, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
- при – прогрессия называется бесконечно убывающей.
4) , при – свойство геометрической прогрессии (соседствующие члены)
либо
, при (равноудаленные члены)
При нахождении не стоит забывать о том, что ответа должно быть два .
Например,
5) Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
или
или
ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.
6) Задачи на сложные проценты также вычисляются по формуле -го члена геометрической прогрессии, при условии, что денежные средства из оборота не изымались:
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии может принимать любые значения, кроме и.
- Если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак – они положительны ;
- если, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
- при – прогрессия называется бесконечно убывающей.
Уравнение членов геометрической прогрессии - .
Сумма членов геометрической прогрессии
вычисляется по формуле:
или
Если прогрессия является бесконечно убывающей, то:
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",
А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
