Уравнение плоскости xy. Уравнения прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве, условие перпендикулярности и параллельности прямых

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости .

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M 1 (x 1 , y 1 , z 1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой .

Вектор a называется направляющим вектором прямой .

Параметрические получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + рt. (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y , приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий n = [n 1 , n 2 ], где n 1 (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x 1 , y = y 1 ; прямая параллельна оси Oz.

Пример 1.15 . Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА (1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 1.16 . Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y- z-7=0 угол 60 о.

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

Решая квадратное уравнение 3m 2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m 1 = 1/3, m 2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x 1 , y 1 , z 1), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n 1 (5,1,1) и n 2 (2,3,-2). Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Пример 1.18 . В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, или v = - u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u¹0 (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, или v = - 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.

Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости вида , где a , b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках .

Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) следует откладывать отрезки на координатных осях.

Для примера построим в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, определенную уравнением плоскости в отрезках . Для этого отмечаем точку, удаленную на 5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая уравнению плоскости в отрезках вида .

Для получения более полной информации обращайтесь к статье уравнение плоскости в отрезках , там показано приведение уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости, там же Вы также найдете подробные решения характерных примеров и задач.

Нормальное уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости вида называют нормальным уравнением плоскости , если равна единице, то есть, , и .

Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz определяет плоскость, которая удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости . Если p=0 , то плоскость проходит через начало координат.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz общим уравнение плоскости вида . Это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости. Действительно, и нормальный вектор этой плоскости имеет длину равную единице, так как .

Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости .

Рекомендуем более детально разобраться с данным видом уравнения плоскости, посмотреть подробные решения характерных примеров и задач, а также научиться приводить общее уравнение плоскости к нормальному виду. Это Вы можете сделать, обратившись к статье .

Список литературы.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

ЛЕКЦИЯ 6-7. Элементы аналитической геометрии.

Поверхности и их уравнения.

Пример 1.

Сфера .

Пример 2.

F(x,y,z)=0 (*),

Это - уравнение поверхности

Примеры :

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (конус)

Плоскость.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Рассмотрим плоскость в пространстве. Пусть М 0 (x 0 , y 0 , z 0) – данная точка плоскости Р, а - вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости).

(1) – векторное уравнение плоскости.

В координатной форме:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Получили уравнение плоскости, проходящей через заданную точку .

Общее уравнение плоскости.

Раскроем скобки в (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 или

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Полученное уравнение плоскости линейно , т.е. уравнение 1 степени относительно координат x, y, z. Поэтому плоскость – поверхность первого порядка .

Утверждение : Всякое уравнение, линейное относительно x, y, z задает плоскость.

Любая плоскость м.б. задана уравнением (3), которое называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения.

а) D=0: Ax + By + Cz = 0. Т.к. координаты точки О(0, 0, 0) удовлетворяют этому уравнению, то заданная им плоскость проходит через начало координат.

б) С=0: Ax + By + D = 0. В этом случае нормальный вектор плоскости , поэтому плоскость, заданная уравнением параллельна оси OZ.

в) С=D=0: Ax + By = 0. Плоскость параллельна оси OZ (т.к. С=0) и проходит через начало координат (т.к. D=0). Значит, она проходит через ось OZ.

г) В=С=0: Ax + D = 0 или . Вектор , т.е. и . Следовательно, плоскость параллельна осям OY и OZ, т.е. параллельна плоскости YOZ и проходит через точку .

Самостоятельно рассмотреть случаи: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Т.к. все четыре точки принадлежат плоскости, то данные векторы компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю:

Получили уравнение плоскости, проходящей через три точки в векторной форме.

В координатной форме:

(7)

Если раскрыть определитель, то получим уравнение плоскости в виде:

Ax + By + Cz + D = 0.

Пример . Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (1,-1,0);

М 2 (-2,3,1) и М 3 (0,0,1).

, (x - 1)·3 - (y + 1)(-2) + z·1 = 0;

3x + 2y + z – 1 = 0.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть дано общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 и D ≠ 0, т.е. плоскость не проходит через начало координат. Разделим обе части на –D: и обозначим: ; ; . Тогда

получили уравнение плоскости в отрезках .

где a, b, c – величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) и С(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3 , или 2x + 3y - 2z – 6 = 0.

Пример 2. Найти величины отрезков, которые отсекает плоскость

4x – y – 3z – 12 = 0 на осях координат.

4x – y – 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Нормальное уравнение плоскости.

Пусть дана некоторая плоскость Q. Из начала координат проведем перпендикуляр ОР к плоскости. Пусть заданы |ОР|=р и вектор : . Возьмем текущую точку M(x, y, z) плоскости и вычислим скалярное произведение векторов и : .

Если спроектировать точку М на направление , то попадем в точку Р. Т.о., получим уравнение

(9).

Задание линии в пространстве.

Линию L в пространстве можно задать как пересечение двух поверхностей. Пусть точка M(x, y, z), лежащая на линии L, принадлежит как поверхности Р1, так и поверхности Р2. Тогда координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям обеих поверхностей. Поэтому под уравнением линии L в пространстве понимают совокупность двух уравнений, каждое из которых является уравнением соответствующей поверхности:

Линии L принадлежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям в (*). Позже мы рассмотрим и другие способы задания линий в пространстве.

Пучок плоскостей.

Пучок плоскостей – множество всех плоскостей, проходящих через заданную прямую – ось пучка.

Чтобы задать пучок плоскостей, достаточно задать его ось. Пусть уравнение этой прямой задано в общем виде:

Составить уравнение пучка – значит составить уравнение, из которого можно получить при дополнительном условии уравнение любой плоскости пучка, кроме, б.м. одной. Умножим II уравнение на л и сложим с I уравнением:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + л(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) или

(A 1 + лA 2)x + (B 1 + лB 2)y + (C 1 + лC 2)z + (D 1 + лD 2) = 0 (2).

л – параметр – число, которое может принимать действительные значения. При любом выбранном значении л уравнения (1) и (2) линейные, т.е. это – уравнения некоторой плоскости.

1. Покажем , что эта плоскость проходит через ось пучка L. Возьмем произвольную точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Следовательно, М 0 Р 1 и М 0 Р 2 . Значит:

Следовательно, плоскость, описываемая уравнением (1) или (2) принадлежит пучку.

2. Можно доказать и обратное : всякая плоскость, проходящая через прямую L, описывается уравнением (1) при соответствующем выборе параметра л.

Пример 1 . Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + y + 5z – 1 = 0 и 2x + 3y – z + 2 = 0 и через точку М(3, 2, 1).

Записываем уравнение пучка: x + y + 5z – 1 + л(2x + 3y – z + 2) = 0. Для нахождения л учтем, что М Р:

Всякую поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, обладающим некоторым свойством, общим для всех точек.

Пример 1.

Сфера – множество точек, равноудаленных от данной точки С (центра). С(x 0 ,y 0 ,z 0). По определению |СМ|=R или или . Данное уравнение выполняется для всех точек сферы и только для них. Если x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0, то .

Аналогичным образом можно составить уравнение любой поверхности, если выбрана система координат.

Пример 2. x=0 – уравнение плоскости YOZ.

Выразив геометрическое определение поверхности через координаты ее текущей точки и собрав все слагаемые в одной части, получим равенство вида

F(x,y,z)=0 (*),

Это - уравнение поверхности , если координаты всех точек поверхности удовлетворяют данному равенству, а координаты точек, не лежащих на поверхности, не удовлетворяют.

Т.о., каждой поверхности в выбранной системе координат соответствует свое уравнение. Однако, не каждому уравнению вида (*) соответствует поверхность в смысле определения.

Примеры :

2x – y + z – 3 = 0 (плоскость)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (конус)

x 2 + y 2 +3 = 0 – координаты ни одной точки не удовлетворяют.

x 2 + y 2 + z 2 =0 – единственная точка (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 – прямая (ось OZ).

Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения, определяющие прямую, проходящую через заданную точку коллинеарно направляющему вектору.

Пусть дана точка и направляющий вектор . Произвольная точка лежит на прямой l только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. для них выполняется условие:

Приведённые выше уравнения и есть канонические уравнения прямой.

Числа m , n и p являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор ненулевой, то все числа m , n и p не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. В аналитической геометрии допускается, например, такая запись:

которая означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная каноническими уравнениями, перпендикулярны осям Oy и Oz , т. е. плоскости yOz .

Пример 1. Составить уравнения прямой в пространстве, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью Oz .

Решение. Найдём точку пересечения данной плоскости с осью Oz . Так как любая точка, лежащая на оси Oz , имеет координаты , то, полагая в заданном уравнении плоскости x = y = 0 , получим 4z - 8 = 0 или z = 2 . Следовательно, точка пересечения данной плоскости с осью Oz имеет координаты (0; 0; 2) . Поскольку искомая прямая перпендикулярна плоскости, она параллельна вектору её нормали . Поэтому направляющим вектором прямой может служить вектор нормали заданной плоскости.

Теперь запишем искомые уравнения прямой, проходящей через точку A = (0; 0; 2) в направлении вектора :

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками и В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор . Тогда канонические уравнения прямой примут вид

Приведённые выше уравнения и определяют прямую, проходящую через две заданные точки.

Пример 2. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки и .

Решение. Запишем искомые уравнения прямой в виде, приведённом выше в теоретической справке:

Так как , то искомая прямая перпендикулярна оси Oy .

Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и , т. е. как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений

Уравнения системы называются также общими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 3. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, заданной общими уравнениями

Решение. Чтобы написать канонические уравнения прямой или, что то же самое, уравнения прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например yOz и xOz .

Точка пересечения прямой с плоскостью yOz имеет абсциссу x = 0 . Поэтому, полагая в данной системе уравнений x = 0 , получим систему с двумя переменными:

Её решение y = 2 , z = 6 вместе с x = 0 определяет точку A (0; 2; 6) искомой прямой. Полагая затем в заданной системе уравнений y = 0 , получим систему

Её решение x = -2 , z = 0 вместе с y = 0 определяет точку B (-2; 0; 0) пересечения прямой с плоскостью xOz .

Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки A (0; 2; 6) и B (-2; 0; 0) :

или после деления знаменателей на -2:

Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz в пространстве.

Уравнением поверхности называется такое уравнение F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности.

Например, сфера – это геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром сферы. Так все точки, удовлетворяющие уравнению
лежат на сфере с центром в точке О(0.0.0) и радиусомR (Рис.1).

Координаты любой точки, не лежащей на данной сфере, не удовлетворяют этому уравнению.

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей. Так на рисунке 1 пересечением сферы с плоскостью Oxy является окружность с центром в точке О и радиусом R.

Простейшей поверхностью является плоскость , простейшей линией в пространстве является прямая .

2. Плоскость в пространстве.

2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

В системе координат Oxyz рассмотрим плоскость (Рис.2). Ее положение определяется заданием вектораперпендикулярного этой плоскости, и фиксированной точки
лежащей в этой плоскости. Вектор
перпендикулярный плоскости
называетсянормальным вектором (вектором-нормалью). Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) плоскости . Вектор
лежащий в плоскости
будет перпендикулярен вектору-нормалиИспользуя условие ортогональности векторов
получим уравнение:где

Уравнение (2.2.1 )

называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.

Если в уравнении (2.1.1) раскроем скобки и перегруппируем члены, то получим уравнение илиAx + By + Cz + D = 0, где

D =
.

2.2. Общее уравнение плоскости.

Уравнение Ax + By + Cz +D = 0 (2.2.1 )

называется общим уравнением плоскости, где
- нормальный вектор.

Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

1).D = 0. Уравнение имеет вид: Ax + By + Cz = 0. Такая плоскость проходит через начало координат. Ее нормальный вектор

2). С = 0:Ax + By + D = 0
плоскость параллельна оси oz (Рис.3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
плоскость параллельна оси oy (Рис.4).

4). A = 0: By + Cz + D = 0

плоскость параллельна оси ox (Рис.5).

5). C = D = 0: Ax + By = 0
плоскость проходит через ось oz (Рис.6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
плоскость проходит через ось oy (Рис.7).

7). A = D = 0: By + Cz = 0
плоскость проходит через ось ox (Рис.8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||oz
плоскость параллельна плоскостиOxy (Рис.9).

9). B = C = 0: Ax + D = 0

||ox
плоскость

параллельна плоскостиOyz (Рис.10).

10).A = C = 0: By + D = 0

||oy
плоскость параллельна плоскостиOxz (Рис.11).

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
Найти точки пересечения этой плоскости с осями координат.

Решение. По формуле (2.1.1) имеем

2x – y + 3z + 3 = 0.

Для того, чтобы найти пересечение этой плоскости с осью ox, подставим в полученное уравнение y = 0, z = 0. Имеем 2x + 3 = 0; x = – 1,5.

Точка пересечения искомой плоскости с осью ox имеет координаты:

Найдем пересечение плоскости с осью oy. Для этого возьмем x = 0; z = 0. Имеем

– y + 3 = 0 y = 3. Итак,

Для нахождения точки пересечения с осью oz возьмем x = 0; y = 0
3z + 3 = 0
z = – 1. Итак,

Ответ: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Пример 2. Исследовать плоскости, заданные уравнениями:

a). 3x – y + 2z = 0

б). 2x + z – 1 = 0

в). – y + 5 = 0

Решение. а). Данная плоскость проходит через начало координат (D = 0) и имеет нормальный вектор

б). В уравнении
коэффициентB = 0. Следовательно,
Плоскость параллельна осиoy.

в). В уравнении – y + 5 = 0 коэффициенты A = 0, C = 0. Значит

Плоскость параллельна плоскости oxz.

г). Уравнение x = 0 задает плоскость oyz, так как при B = 0, C = 0 плоскость параллельна плоскости oyz, а из условия D = 0 следует, что плоскость проходит через начало координат.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(2,3,1) и перпендикулярной вектору
гдеB(1,0, –1), C(–2,2,0).

Решение. Найдем вектор

Вектор
является нормальным вектором искомой плоскости, проходящей через точкуA(2,3,1). По формуле (2.1.1) имеем:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x – 2y – z + 1 = 0.

Ответ: 3x – 2y – z + 1 = 0.

2.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость (см. рис. 12). Пусть точки не лежат на одной прямой. Чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать одну точку плоскости и нормальный вектор. Точки, лежащие на плоскости, известны:
Можно взять любую. Для нахождения нормального вектора воспользуемся определением векторного произведения векторов. Пусть
Тогдаследовательно,
Зная координаты точки
и нормального векторанайдем уравнение плоскости, применяя формулу (2.1.1).

Другим способом уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, можно получить, используя условие компланарности трех векторов. Действительно, векторы
где M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости, компланарны (см. рис.13). Следовательно, их смешанное произведение равно 0:

Применив формулу смешанного произведения в координатной форме, получим:

(2.3.1)

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение. По формуле (2.3.1) имеем

Раскрыв определитель, получим:

Полученная плоскость параллельна оси oy. Ее нормальный вектор

Ответ : x + z – 4 = 0.

2.4. Угол между двумя прямыми.

Две плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла, равных попарно (см. рис. 14). Один из двугранных углов равен углу между нормальными векторами этих плоскостей.

Пусть даны плоскости:

Их нормальные векторы имеют координаты:

Из векторной алгебры известно, что
или

(2.4.1)

Пример: Найти угол между плоскостями:

Решение: Найдем координаты нормальных векторов: По формуле (2.4.1) имеем:

Один из двугранных углов, полученных при пересечении данных плоскостей, равен
Можно найти и второй угол:

Ответ :

2.5. Условие параллельности двух плоскостей.

Пусть даны две плоскости:

Если эти плоскости параллельны, то их нормальные векторы

коллинеарны (см. рис.15).

Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

(2.5.1 )

Верно и обратное утверждение: если нормальные векторы плоскостей коллинеарны, то плоскости параллельны.

Пример 1. Какие из указанных плоскостей параллельны:

Решение: а). Выпишем координаты нормальных векторов.

Проверим их коллинеарность:

Отсюда следует, что

б). Выпишем координаты

Проверим коллинеарность:

Векторы
не коллинеарны, плоскости
не параллельны.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M(2, 3, –2) параллельно плоскости

Решение: Искомая плоскость параллельна данной плоскости. Поэтому нормальный вектор плоскости можно взять за нормальный вектор искомой плоскости.
Применяя уравнение (2.1.1), получим:

Ответ:
.

Пример 3. Определить при каких a и b плоскости параллельны:

Решение: Выпишем координаты нормальных векторов:

Так как плоскости параллельны, то векторы
коллинеарны.По условию (2.5.1)
Отсюда b = – 2 ; a = 3.

Ответ: a = 3; b = –2.

2.6. Условие перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости
перпендикулярны, то их нормальные векторы
тоже перпендикулярны (см. рис.16).. Отсюда следует, что их скалярное произведение равно нулю, т.е.
или в координатах:

Это условие перпендикулярности двух плоскостей. Обратное утверждение также верно, то есть, если выполняется условие (2.6.1), то векторы
следовательно,