Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей. Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости
Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая и плоскость
Параллельности двух прямых
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой.
Доказательство. Пусть плоскость α проходит через прямую a , параллельную плоскости β, и прямая b является линией пересечения этих плоскостей. Докажем, что прямые a и b параллельны.
Действительно, они лежат в одной плоскости α. Кроме этого, прямая b лежит в плоскости β, а прямая a не пересекается с этой плоскостью. Следовательно, прямая a и подавно не пересекается с прямой b . Таким образом, прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, они параллельны.
Признак параллельности прямой и плоскости Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.
Доказательство. Пусть прямая a не лежит в плоскости β и параллельна прямой b , лежащей в этой плоскости. Докажем, что прямая a параллельна плоскости β.
Предположим противное, т.е., что прямая a пересекает плоскость β в некоторой точке C .
Рассмотрим плоскость α, проходящую через прямые a и b (a || b , по условию). Точка C принадлежит как плоскости β, так и плоскости α, т.е. принадлежит линии их пересечения - прямой b . Следовательно, прямые a и b пересекаются, что противоречит условию. Таким образом, a || β.
Упражнение 1
Верно ли утверждение о том, что две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой?
Ответ: Нет.
Упражнение 2
Верно ли утверждение: "Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости"?
Ответ: Нет.
Упражнение 3
Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?
Ответ: Нет.
Упражнение 4
Даны две параллельные прямые. Через каждую из них проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых?
Ответ: Параллельна.
Упражнение 5
Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым?
Ответ: Да.
Упражнение 6
Сторона AF правильного шестиугольника ABCDEF лежит в плоскости α, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены прямые, содержащие остальные стороны этого шестиугольника, относительно плоскости α?
Ответ: AB , BC , DE , EF пересекают плоскость; CD параллельна плоскости.
Две плоскости пересекаются по прямой линии, для построения которой достаточно, или определить две общие для плоскостей точки, или одну точку и направление линии пересечения.
Рассмотрим задачи на построение проекций линии пересечения плоскостей и их положения относительно плоскостей проекций.
1. Если плоскости заданы следами и следы пересекаются в пределах чертежа (рис. 4.14а) то, две точки линии пересечения определяются на пересечение одноимённых следов. Точка 1 – пересечение горизонтальных следов, точка 2 – пересечение фронтальных следов. Линия l (1 1 1 2) - линия пересечения плоскостей l и å.
Рис. 4.14а. Плоскости заданы следами.
2. Один из частных случаев пересечения плоскостей, когда одна из них является проецирующей плоскостью (рис. 4.14б).
Задача сводиться к определению второй проекции линии, принадлежащей и проецирующей плоскости, и плоскости общего положения.
Определяем точки пересечения соответствующего следа проецирующей плоскости с плоскостью общего положения точки 1 и 2. По линиям связи определяем вторую проекцию. Затем необходимо определить видимость отсеков плоскости общего положения относительно линии пересечения.
Рис. 4.14б. Одна из плоскостей проецирующая.
3. В некоторых случаях линия пересечения плоскостей является линией частного положения (рис. 4.14в).
Рассмотрим задачи на пересечение плоскостей по горизонтали. В первой задаче одна из плоскостей l является горизонтальной плоскостью уровня, поэтому фронтальная линия проекции пересечения h 2 совпадает со следом этой плоскости и является горизонталью. Горизонтальная проекция определяется по точке 1 пересечения следов и направлению h 1 || l 1 .
Рис. 4.14в. Пересечение по линиям частного положения.
Во второй задаче горизонтальные следы плоскостей общего положения параллельны l 1 || å 1 . Следовательно, горизонтальная проекция линии пересечения будет им параллельна h 1 || l 1 || å 1 , а фронтальная будет проходить через точку 1 пересечения фронтальных следов.
Аналогичны случаи пересечения по фронтали. Существуют другие частные случаи пересечения плоскостей, когда линией пересечения являются проецирующие прямые.
4. Общий случай пересечение плоскостей, когда в пределах чертежа сразу не определяются общие для данных плоскостей точки. Для решения такой задачи используются вспомогательные секущие плоскости обычно частного положения – или плоскости уровня, или проецирующие.
Рассмотрим пример на рис. 4.15.
Даны две плоскости, заданные параллельными прямыми (а || b ) и треугольником АВС . Для определения двух общих точек данных плоскостей решаем задачу по алгоритму:
1. Вводим первую вспомогательную горизонтальную плоскость уровня å.
2. Строим линии пересечения каждой данной плоскости со вспомогательной (а || b ) Ç å ® h å (ABC ) Ç å ® h å . Эти линии являются горизонталями данных плоскостей.
3. Определяем точку пересечения линии пересечения. Точка I – общая для данных плоскостей.
Рис. 4.15. Общий случай пересечения плоскостей.
В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.
Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.
По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.
Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β . Разместим их в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.
Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 . Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а плоскости β уравнение A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:
n 1 → ≠ λ · n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ · A 2 , λ · B 2 , λ · C 2 , λ ∈ R
Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.
Линию пересечения плоскостей обозначим буквой a . Т.е. a = α ∩ β . Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β . Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Фактически, они являются частным решением системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Общее решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β . Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат O x y z .
Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.
Пример 1
Прямая O x – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости O x y и O x z . Зададим плоскость O x y уравнением z = 0 , а плоскость O x z уравнением у = 0 . Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая O x определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y = 0 z = 0 .
Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости
Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат O х у z . Линия, по которой пересекаются две плоскости a , задана системой уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Дана точка трехмерного пространства M 0 x 0 , y 0 , z 0 .
Давайте определим, принадлежит ли точка M 0 x 0 , y 0 , z 0 заданной прямой линии a .
Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М 0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 , то точка М 0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 окажется неверным, то точка М 0 не принадлежит прямой линии.
Рассмотрим решение примера
Пример 2
Прямая линия задана в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 . Определите, принадлежат ли точки M 0 (1 , - 1 , 0) и N 0 (0 , - 1 3 , 1) прямой линии пересечения плоскостей.
Решение
Начнем с точки М 0 . Подставим ее координаты в оба уравнения системы 2 · 1 + 3 · (- 1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .
В результате подстановки мы получили верные равенства. Это значит, что точка М 0 принадлежит обеим плоскостям и расположена на линии их пересечения.
Подставим в оба уравнения плоскости координаты точки N 0 (0 , - 1 3 , 1) . Получаем 2 · 0 + 3 · - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 · - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 .
Как вы видите, второе уравнение системы превратилось в неверное равенство. Это значит, что точка N 0 не принадлежит заданной прямой.
Ответ: точка М 0 принадлежит прямой линии, а точка N 0 не принадлежит.
Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.
Приведем пример.
Пример 3
Пусть в трехмерном пространстве задана прямая линия уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Найдите координаты любой из точек этой прямой.
Решение
Перепишем систему уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .
Возьмем отличный от нуля минор второго порядка в качестве базисного минора основной матрицы системы 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Это значит, что z – это свободная неизвестная переменная.
Перенесем слагаемые, содержащие свободную неизвестную переменную z в правые части уравнений:
x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z
Введем произвольное действительное число λ и примем, что z = λ .
Тогда x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .
Для решения полученной системы уравнений применим метод Крамера:
∆ = 1 0 2 3 = 1 · 3 - 0 · 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ · 3 - 0 · (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ · = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ
Общее решение системы уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 будет иметь вид x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ , где λ ∈ R .
Для получения частного решения системы уравнений, которое даст нам искомые координаты точки, принадлежащей заданной прямой, нам необходимо взять конкретное значение параметра λ . Если λ = 0 , то x = - 7 - 3 · 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 .
Это позволяет нам получить координаты искомой точки - 7 , 4 , 0 .
Проверим верность найденных координат точки методом подстановки их в исходные уравнения двух пересекающихся плоскостей - 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · (- 7) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .
Ответ : - 7 , 4 , 0
Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости
Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.
Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.
Плоскости α и β пересекаются по линии a . Направляющий вектор a → прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и нормальному вектору n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) плоскости A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n → 1 = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 .
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2
Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , где λ - это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.
Пример 4
Пусть прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Найдем координаты любого направляющего вектора этой прямой.
Решение
Плоскости x + 2 y - 3 z - 2 = 0 и x - z + 4 = 0 имеют нормальные векторы n 1 → = 1 , 2 , - 3 и n 2 → = 1 , 0 , - 1 . Примем за направляющий вектор прямой линии, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, векторное произведение нормальных векторов:
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (- 1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →
Запишем ответ в координатной форме a → = - 2 , - 2 , - 2 . Тем, кто не помнит, как это делается, рекомендуем обратиться к теме «Координаты вектора в прямоугольной системе координат».
Ответ: a → = - 2 , - 2 , - 2
Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве
Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В этих уравнениях a x , a y , a z - координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 - координаты некоторой точки прямой, а λ - параметр, принимающий произвольные действительные значения.
От уравнения прямой вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.
Рассмотрим написанное выше на примере.
Пример 5
Зададим прямую линию в трехмерной системе координат уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишем канонические и параметрические уравнения этой прямой.
Решение
Найдем координаты направляющего вектора прямой, который является векторным произведением нормальных векторов n 1 → = 2 , 1 , - 1 плоскости 2 x + y - z - 1 = 0 и n 2 → = (1 , 3 , - 2) плоскости x + 3 y - 2 z = 0:
a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (- 2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (- 2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →
Координаты направляющего вектора прямой a → = (1 , 2 , 5) .
Следующим шагом является определение координат некоторой точки заданной прямой линии, которыми является одно из решений системы уравнений: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 .
Возьмем в качестве минорной матрицы системы определитель 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 , который отличен от нуля. В этом случае переменная z является свободной. Перенесем слагаемые с ней в правые части каждого уравнения и придаем переменной произвольное значение λ:
2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R
Применяем для решения полученной системы уравнений метод Крамера:
∆ = 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) · 3 - 1 · 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 · λ
Получаем: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ
Примем λ = 2 для того, чтобы получить координаты точки прямой линии: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения данной прямой в пространстве: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ
Ответ: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 и x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ
Данная задача имеет еще один способ решения.
Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .
Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ , приравниваем правые части равенства.
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
Применим данный способ к решению задачи.
Пример 6
Зададим положение прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишем параметрическое и каноническое уравнения для этой прямой линии.
Решение
Решение системы из двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично тому, как мы делали это в предыдущем примере. Получаем: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ .
Это параметрические уравнения прямой в пространстве.
Канонические уравнения получаем следующим образом: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1
Полученные в обоих примерах уравнения отличаются внешне, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства, а следовательно и одну и ту же прямую линию.
Ответ: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 и x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.
1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.61).
Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В.
Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.
Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой.
Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой
d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.
Рисунок 61. Параллельные плоскости
2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.
Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.62).
Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая a.
Требуется построить линию пересечения плоскостей.
Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью a - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок определяет линию пересечения плоскостей. Так как a - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости aП1, таким образом остается только построить недостающие проекции на П2 и П3.
Рисунок 62. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью
Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.63)
Рисунок 63. Пересечение плоскостей общего положения
Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ).
Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость.
Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.64).
Рисунок 64. Взаимно перпендикулярные плоскости
