Элементы механики сплошных сред. Элементы механики сплошных сред Методы разрушения горных пород
Завершением космического полета считается посадка на планету. К настоящему времени только три страны научились возвращать на Землю космические аппараты: Россия, США и Китай.
Для планет с атмосферой (рис. 3.19) проблема посадки сводится главным образом к решению трех задач: преодоление высокого уровня перегрузок; защита от аэродинамического нагрева; управление временем достижения планеты и координатами точки посадки.
Рис. 3,19. Схема спуска КА с орбиты и посадки на планету с атмосферой:
N - включение тормозного двигателя; А - сход КА с орбиты; М - отделение СА от орбитального КА; В - вход СА в плотные слои атмосферы; С - начало работы парашютной системы посадки; D - посадка на поверхность планеты;
1 – баллистический спуск; 2 – планирующий спуск
При посадке на планету без атмосферы (рис. 3.20, а , б ) снимается проблема защиты от аэродинамического нагрева.
КА, находящийся на орбите искусственного спутника планеты или приближающийся к планете с атмосферой для совершения посадки на нее обладает большим запасом кинетической энергии, связанной со скоростью КА и его массой, и потенциальной энергии, обусловленной положением КА относительно поверхности планеты.
Рис. 3.20. Спуск и посадка КА на планету без атмосферы:
а - спуск на планету с предварительным выходом на орбиту ожидания;
б - мягкая посадка КА с тормозным двигателем и посадочным устройством;
I - гиперболическая траектория подлета к планете; II - орбитальная траектория;
III - траектория спуска с орбиты; 1, 2, 3 - активные участки полета при торможении и мягкой посадке
При входе в плотные слои атмосферы перед носовой частью СА возникает ударная волна, нагревающая газ до высокой температуры. По мере погружения в атмосферу СА тормозится, скорость его уменьшается, а раскаленный газ все больше нагревает СА. Кинетическая энергия аппарата превращается в тепло. При этом большая часть энергии отводится в окружающее пространство двумя путями: большая часть тепла отводится в окружающую атмосферу из-за действия сильных ударных волн и за счет теплоизлучения с нагретой поверхности СА.
Наиболее сильные ударные волны возникают при затупленной форме носовой части, вот почему для СА применяют затупленные формы, а не заостренные, характерные для полета при малых скоростях.
С ростом скоростей и температур большая часть тепла передается к аппарату не за счет трения о сжатые слои атмосферы, а за счет излучения и конвекции от ударной волны.
Для отвода тепла от поверхности СА применяются следующие методы:
– поглощения тепла теплозащитным слоем;
– радиационного охлаждения поверхности;
– применения уносимых покрытий.
До входа в плотные слои атмосферы траектория КА подчиняется законам небесной механики. В атмосфере на аппарат помимо гравитационных сил действуют аэродинамические и центробежные силы, изменяющие форму траектории его движения. Сила притяжения направлена к центру планеты, сила аэродинамического сопротивления по направлению, противоположному вектору скорости, центробежная и подъемная силы – перпендикулярно направлению движения СА. Сила аэродинамического сопротивления уменьшает скорость аппарата, в то время как центробежная и подъемная силы сообщают ему ускорения в направлении, перпендикулярном его движению.
Характер траектории спуска в атмосфере определяется в основном его аэродинамическими характеристиками. При отсутствии подъемной силы у СА траектория его движения в атмосфере называется баллистической (траектории спуска СА космических кораблей серий «Восток» и «Восход»), а при наличии подъемной силы – либо планирующей (СА КК Союз и «Аполлон», а также «Спейс Шаттл»), либо рикошетирующей (СА КК Союз и «Аполлон»). Движение по планетоцентрической орбите не предъявляет высоких требований к точности наведения при входе в атмосферу, поскольку путем включения двигательной установки для торможения или ускорения сравнительно легко скорректировать траекторию. При входе в атмосферу со скоростью, превышающей первую космическую, ошибки в расчетах наиболее опасны, так как слишком крутой спуск может привести к разрушению СА, а слишком пологий – к удалению от планеты.
При баллистическом спуске вектор равнодействующей аэродинамических сил направлен прямо противоположно вектору скорости движения аппарата. Спуск по баллистической траектории не требует управления. Недостатком этого способа является большая крутизна траектории, и, как следствие, вхождение аппарата в плотные слои атмосферы на большой скорости, что приводит к сильному аэродинамическому нагреву аппарата и к перегрузкам, иногда превышающим 10g – близким к предельно-допустимым значениям для человека.
При аэродинамическом спуске внешний корпус аппарата имеет, как правило, коническую форму, причём ось конуса составляет некоторый угол (угол атаки) с вектором скорости аппарата, за счёт чего равнодействующая аэродинамических сил имеет составляющую, перпендикулярную к вектору скорости аппарата – подъёмную силу. Благодаря подъёмной силе, аппарат снижается медленнее, траектория его спуска становится более пологой, при этом участок торможения растягивается и по длине и во времени, а максимальные перегрузки и интенсивность аэродинамического нагрева могут быть снижены в несколько раз, по сравнению с баллистическим торможением, что делает планирующий спуск для людей более безопасным и комфортным.
Угол атаки при спуске меняется в зависимости от скорости полёта и текущей плотности воздуха. В верхних, разреженных слоях атмосферы он может достигать 40°, постепенно уменьшаясь со снижением аппарата. Это требует наличия на СА системы управления планирующим полётом, что усложняет и утяжеляет аппарат, и в случаях, когда он служит для спуска только аппаратуры, которая способна выдерживать более высокие перегрузки, чем человек, используется, как правило, баллистическое торможение.
Орбитальная ступень «Спейс Шаттл», при возврате на Землю выполняющий функцию спускаемого аппарата, планирует на всём участке спуска от входа в атмосферу до касания шасси посадочной полосы, после чего выпускается тормозной парашют.
После того, как на участке аэродинамического торможения скорость аппарата снизится до дозвуковой далее спуск СА может осуществляться с помощью парашютов. Парашют в плотной атмосфере гасит скорость аппарата почти до нуля и обеспечивает мягкую посадку его на поверхность планеты.
В разреженной атмосфере Марса парашюты менее эффективны, поэтому на заключительном участке спуска парашют отцепляется и включаются посадочные ракетные двигатели.
Спускаемые пилотируемые аппараты космических кораблей серии Союз ТМА-01М, предназначенные для приземления на сушу, также имеют твёрдотопливные тормозные двигатели, включающиеся за несколько секунд до касания земли, чтобы обеспечить более безопасную и комфортную посадку.
Спускаемый аппарат станции Венера-13 после спуска на парашюте до высоты 47 км сбросил его и возобновил аэродинамическое торможение. Такая программа спуска была продиктована особенностями атмосферы Венеры, нижние слои которой очень плотные и горячие (до 500° С), и парашюты из ткани не выдержали бы таких условий.
Следует отметить, что в некоторых проектах космических кораблей многоразового использования (в частности, одноступенчатых вертикального взлета и посадки, например, Delta Clipper) предполагается на конечном этапе спуска, после аэродинамического торможения в атмосфере, также производить беспарашютную моторную посадку на ракетных двигателях. Конструктивно спускаемые аппараты могут существенно отличаться друг от друга в зависимости от характера полезной нагрузки и от физических условий на поверхности планеты, на которую производится посадка.
При посадке на планету без атмосферы снимается проблема аэродинамического нагрева, но для осуществления посадки гашение скорости осуществляется с помощью тормозной двигательной установки, которая должна работать в режиме программируемой тяги, а масса топлива при этом может значительно превышать массу самого СА.
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
Сплошной считается среда, для которой характерно равномерное распределение вещества – т.е. среда с одинаковой плотностью. Таковыми являются жидкости и газы.
Поэтому в этом разделе мы рассмотрим основные законы, которые выполняются в этих средах.
Под действием приложенных сил тела изменяют свою форму и объем, т. е. деформируются.
Для твердых тел различают деформации: упругие и пластические.
Упругими называют деформации, которые исчезают после прекращения действия сил, а тела восстанавливают свою форму и объем.
Пластическими называют деформации, которые сохраняются после прекращения действия сил, а тела не восстанавливают свою первоначальную форму и объем.
Пластическая деформация возникает при холодной обработке металлов: штамповке, ковке и т. д.
Деформация будет упругой или пластической зависит не только от свойств материала тела, но и от величины приложенных сил.
Тела, которые под действием любых сил испытывают только упругие деформации, называют идеально упругими.
Для таких тел существует однозначная зависимость между действующими силами и вызываемыми ими упругими деформациями.
Мы ограничимся упругими деформациями, которые подчиняются закону Гука .
Все твердые тела можно разделить на изотропные и анизотропные.
Изотропными называют тела, физические свойства которых по всем направлениям одинаковы.
Анизотропными называют тела, физические свойства которых различны по разным направлениям.
Приведенные определения являются относительными, так как реальные тела могут вести себя как изотропные по отношению к одним свойствам и как анизотропные – к другим.
Например, кристаллы кубической системы ведут себя как изотропные, если в них распространяется свет, но они анизотропны, если рассматривать их упругие свойства.
В дальнейшем ограничимся исследованием изотропных тел.
Наиболее широкое распространение в природе имеют металлы с поликристаллической структурой.
Такие металлы состоят из множества мельчайших произвольно ориентированных кристаллов.
В результате пластической деформации хаотичность в ориентации кристаллов может нарушиться.
После прекращения действия сил, вещество будет анизотропным, что наблюдается, например, при вытягивании и кручении проволоки.
Силу, отнесенную к единице площади поверхности, на которую они действуют, называют механическим напряжением n .
Если напряжение не превосходит предела упругости, то деформация будет упругой.
Предельные напряжения, приложенные к телу, после действия, которых оно еще сохраняет свои упругие свойства, называют пределом упругости.
Различают напряжения сжатия, растяжения, изгиба, кручения и т. д.
Если под действием сил, приложенных к телу (стержню), оно растягивается, то возникающие напряжения называют натяжением
Если стержень сжать, то возникающие напряжения называют давлением:
.
(7.2)
Следовательно,
Т = Р. (7.3)
Если
–
длина недеформированного стержня, то
после приложения силы он получает
удлинение
.
Тогда длина стержня
. (7.4)
Отношение
к
,
называют относительным удлинением, т.
е.
. (7.5)
На основании опытов, Гуком установлен закон: в пределах упругости напряжение (давление) пропорционально относительному удлинению (сжатию), т. е.
(7.6)
,
(7.7)
где Е – модуль Юнга.
Соотношения (7.6) и (7.7) справедливы для любого твердого тела, но до определенного предела.
До точки А (предел упругости) после прекращения действия силы длина стержня возвращается к первоначальной (область упругой деформации).
За пределами упругости деформация становится частично или полностью необратимой (пластические деформации). Для большинства твердых тел линейность сохраняется почти до предела упругости. Если тело продолжать растягивать, то оно разрушится.
Максимальную силу, которую нужно приложить к телу, не разрушая его, называют пределом прочности (т. Б, рис. 7.1).
Рассмотрим произвольную сплошную среду. Пусть она разделена на части 1 и 2 вдоль поверхности А–а–Б–б (рис. 7.2).
Если тело деформировано, тогда его части взаимодействуют между собой по поверхности раздела, вдоль которой они граничат.
Для определения возникающих напряжений кроме сил, действующих в сечении А–а–Б–б, нужно знать, как эти силы распределены по сечению.
,
(7.8)
где
–
единичный вектор нормали к площадке
dS.
.
(7.9)
Для определения механического напряжения в среде, на противоположно ориентированной площадке, в какой-либо ее точке, достаточно задать напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках: S x , S y , S–, проходящих через эту точку, например, точка 0 (рис. 7.3).
Это положение справедливо для покоящейся среды или движущейся с произвольным ускорением.
В этом случае
,
(7.10)
где
(8.11)
S – площадь грани АВС; n – внешняя нормаль к ней.
Следовательно,
напряжение в каждой точке упруго
деформированного тела можно характеризовать
тремя векторами
или девятью их проекциями на оси координат
Х, У,Z:
(7.12)
которые называют тензором упругих напряжений.
Жидкости и газы во многом схожи по своим свойствам. Они текучи и принимают форму того сосуда, в котором находятся. Они подчиняются законам Паскаля и Архимеда.
При рассмотрении движения жидкостей можно пренебречь силами трения между слоями и считать их абсолютно несжимаемыми. Такая абсолютно невязкая и абсолютно несжимаемая жидкость называется идеальной .
Движение жидкости можно описать, если показать траектории движения ее частиц таким образом, чтобы касательная в любой точке траектории совпадала с вектором скорости. Эти линии называются линиями тока . Линии тока принято проводить так, чтобы их густота была больше там, где больше скорость течения жидкости (рис.2.11).
Величина и направление вектора скорости V в жидкости могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если же вектора скорости в каждой точке пространства не меняются, то течение жидкости называют стационарным .
Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока . Частицы жидкости, двигаясь внутри трубки тока, не пересекают ее стенок.
Рассмотрим одну трубку тока и обозначим через S 1 и S 2 площади поперечного сечения в ней (рис.2.12). Тогда за единицу времени через S 1 и S 2 протекают одинаковые объемы жидкости:
S 1 V 1 =S 2 V 2 (2.47)
это применимо к любому сечению трубки тока. Следовательно, для идеальной жидкости величина SV=const в любом сечении трубки тока. Это соотношение называется неразрывностью струи . Из него следует:
т.е. скорость V стационарного течения жидкости обратно пропорциональна площади сечения S трубки тока, а это может быть обусловлено градиентом давления в жидкости вдоль трубки тока. Теорема о неразрывности струи (2.47) применима и к реальным жидкостям (газам) при их течении в трубах разного сечения, если силы трения невелики.
Уравнение Бернулли . Выделим в идеальной жидкости трубку тока переменного сечения (рис.2.12). В силу неразрывности струи через S 1 и S 2 за одно время протекают одинаковые объемы жидкости ΔV.
 |
Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии. Тогда при переходе от одного сечения трубки токи к другому приращение энергии жидкости будет:
В идеальной жидкости приращение ΔW должно равняться работе сил давления на изменение объема ΔV, т.е. А=(Р 1 -Р 2)· ΔV .
Приравнивая ΔW=A и сокращая на ΔVи учитывая, что (ρ -плотность жидкости), получим:
т.к. сечение трубки тока взяты произвольно, то для идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется:
. (2.48)
где Р -статическое давление в определенном сечении S трубки тока;
Динамическое давление для этого сечения; V-скорость протекания жидкости через это сечение;
ρgh -гидростатическое давление.
Уравнение (2.48) называется уравнением Бернулли .
Вязкая жидкость . В реальной жидкости при перемещении ее слоев относительно друг друга возникают силы внутреннего трения (вязкость). Пусть два слоя жидкости отстоят друг от друга на расстояние Δх и движутся со скоростями V 1 и V 2 (рис.2.13).
 |
Тогда сила внутреннего трения между слоями (закон Ньютона):
, (2.49)
где η -коэффициент динамической вязкости жидкости:
Средняя арифметическая скорость молекул;
Средняя длина свободного пробега молекул;
Градиент скорости слоев; ΔS – площадь соприкасающихся слоев.
Слоистое течение жидкости называется ламинарным . При возрастании скорости слоистый характер течения нарушается, происходит перемешивание жидкости. Такое течение называют турбулентным .
При ламинарном течении поток жидкости Q в трубе радиуса R пропорционален перепаду давления на единице длины трубы ΔР/ℓ :
Формула Пуазейля. (2.51)
В реальных жидкостях и газах движущиеся тела испытывают действия силы сопротивления. Например, сила сопротивления, действующая на шарик, равномерно движущийся в вязкой среде, пропорциональна его скорости V:
Формула Стокса, (2.52)
где r -радиус шарика.
При увеличении скорости движения обтекание тела нарушается, позади тела образуются завихрения, на что дополнительно тратится энергия. Это приводит к возрастанию лобового сопротивления.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД |
| Рубрика (тематическая категория) | Металлы и Сварка |
И КЛАССИФИКАЦИЯ СПОСОБОВ БУРЕНИЯ
МЕТОДЫ РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД
основным и наиболее широко распространенным методом разрушения горных пород при бурении скважин в настоящее время является механический . При этом методе породоразрушающим инструментом являются буровые долота и коронки. Вращение породоразрушающего инструмента производится несколькими способами: роторный , турбинный и с помощью электробура - все эти способы являются разновидностью вращательного метода , при котором образование скважины происходит за счёт непрерывного вращения долота и внедрение его в породу под действием осевой нагрузки.
Кроме вращательного метода существует ударный метод - здесь скважина образуется за счёт разрушения породы под ударами клинообразного долота. Сочетание вращательного и ударного методов бурения создает комбинированный метод (ударно-вращательный).
Разрушение породы осуществляется следующим образом:
1. Резанием - при вращательном бурении долотами и коронками режущего типа.
2. Дроблением - при ударном бурении клинообразными долотами и при вращательном - шарошечными долотами ʼʼчистогоʼʼ качения.
3. Скалыванием - при вращательном бурении скважины шарошечными долотами скалывающего типа.
4. Истиранием - при вращательном бурении долотами режущего и шарошечного типа при малых удельных нагрузках на долото и большого числа оборотов.
Механические свойства твердого тела - это его специфические признаки, проявляющиеся при механических процессах, обусловленные природой и внутренним строением тела.
Деформированием принято называть процесс изменения размеров или формы твердого тела под действием внешних сил.
Деформация - это относительная величина изменения размера или формы тела.
Сопротивление тела деформированию в рассматриваемой точке принято характеризовать отношением:
где - равнодействующая внутренних сил на элементарной площадке сечения,
Площадь, на которую действуют силы,
Напряжение в точке (векторная величина).
Упругой (обратимой) деформация будет в том случае, в случае если при снятии внешних сил размеры и форма тела полностью восстанавливаются. В этом случае внутренние силы совершают работу, равную работе внешних сил, обратную по знаку.
Пластической (необратимой) деформация будет в том случае, в случае если при снятии внешних сил размеры и форма тела не восстанавливаются. В этом случае, естественно, работа͵ затраченная на деформирование тела больше работы восстанавливания.
Разрушение тела наступает тогда, когда в процессе деформирования его происходит разрыв связей, обуславливающих само твердое тело.
В случае отсутствия необратимой деформации в процессе разрушения твердого тела разрушение принято называть хрупким .
Пластическое разрушение тела характеризуется значительной необратимой деформацией.
Прочностью принято называть способность твердого тела противостоять разрушению от действия внешних сил. Прочность твердых тел характеризуется величиной предельных напряжений в опасном сечении тела.
Поведение деформированного твердого тела должна быть описано методом натурных испытаний, методом испытания моделей, расчетным методом.
Следует отметить, что точного математического описания состояния твердого тела нет, что затрудняет аналитически охарактеризовать механические свойства горных пород.
Метод натурных испытаний надежный, но трудоемкий, метод испытания моделей осуществляется с применением теории подобия и моделирования в механике. Третий метод (расчетный) наименее трудоемкий и наименее точный.
Для различных групп тел созданы идеализированные математические модели, включающие в себя лишь наиболее существенные признаки группы.
К основным моделям относятся:
1. Упругое тело, или тело Гука (деформируется упруго до разрушения).
2. Пластическое тело, или тело Сан-Венана (до величины предельных напряжений деформируется упруго, а далее деформируется пластически при постоянной нагрузке).
3. Вязкое тело, или тело Ньютона (деформируется подобно вязкой жидкости).
В соответствии с моделями выделяют группы упругих, пластических, реологических (вязкостных) и прочностных показателей свойств.
Рассмотренные методы не могут подменить крайне важно сть изучения сущности процессов деформирования и разрушения твердых тел (необходимы эксперименты и методы прогнозирования).
ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД" 2017, 2018.
7.1. Общие свойства жидкостей и газов. Кинематическое описание движения жидкости. Векторные поля. Поток и циркуляция векторного поля. Стационарное течение идеальной жидкости. Линии и трубки тока. Уравнения движения и равновесия жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
Механика сплошных сред – это раздел механики, посвященный изучению движения и равновесия газов, жидкостей, плазмы и деформируемых твердых тел. Основное допущение механики сплошных сред состоит в том, что вещество можно рассматривать как непрерывную сплошную среду, пренебрегая его молекулярным (атомным) строением, и одновременно считать непрерывным распределение в среде всех ее характеристик (плотности, напряжений, скоростей частиц).
Жидкость – это вещество в конденсированном состоянии, промежуточном между твердым и газообразным. Область существования жидкости ограничена со стороны низких температур фазовым переходом в твердое состояние (кристаллизация), а со стороны высоких температур – в газообразное (испарение). При изучении свойств сплошной среды сама среда представляется состоящей из частиц, размеры которых много больше размеров молекул. Таким образом, каждая частица включает в себя огромное количество молекул.
Чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.
Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.
Совокупность
векторов
,заданных
для всех точек пространства, образует
поле вектора скорости, которое можно
изобразить следующим образом. Проведем
в движущейся жидкости линии так, чтобы
касательная к ним в каждой точке совпала
по направлению с вектором
(рис.7.1).
Эти линии называются линиями тока.
Условимся проводить линии тока так,
чтобы их густота (отношение числа линий
к величине перпендикулярной к ним
площадки
,
через которую они проходят) была
пропорциональна величине скорости в
данном месте. Тогда по картине линий
тока можно будет судить не только о
направлении, но и о величине вектора
в разных точках пространства: там, где
скорость больше, линии тока будут гуще.
Число
линий тока, проходящих через площадку
,
перпендикулярную к линиям тока, равно
,
если площадка ориентирована произвольно
к линиям тока, число линий тока равно,
где
-
угол между направлением вектора
и нормалью к площадке
.
Часто используют обозначение
.
Число линий тока через площадку
конечных размеров определяется
интегралом:
.
Интеграл такого вида называется потоком
вектора
через площадку
.
В
еличина
и направление вектора
меняется со временем, следовательно,
и картина линий не остается постоянной.
Если в каждой точке пространства вектор
скорости остается постоянным по величине
и направлению, то течение называется
установившимся или стационарным. При
стационарном течении любая частица
жидкости проходит данную точку
пространства с одним и тем же значением
скорости. Картина линий тока в этом
случае не меняется, и линии тока совпадают
с траекториями частиц.
Поток вектора через некоторую поверхность и циркуляция вектора по заданному контуру позволяют судить о характере векторного поля. Однако эти величины дают среднюю характеристику поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через которую определяется поток, или в окрестности контура, по которому берется циркуляция. Уменьшая размеры поверхности или контура (стягивая их в точку), можно придти к величинам, которые будут характеризовать векторное поле в данной точке.
Рассмотрим поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости. Поток вектора скорости через некоторую поверхность равен объему жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Построим в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность S (рис.7.2). Если в объеме V , ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т.е.точки, в которых жидкость поступает в объем (источники) или удаляется из объема (стоки).Величина потока определяет суммарную мощность источников и стоков. При преобладании источников над стоками поток положительный, при преобладании стоков – отрицательный.
Частное
от деления потока на величину объема,
из которого поток вытекает,
,
есть средняя удельная мощность
источников, заключенных в объемеV.
Чем меньше объем V,
включающий
в себя точку Р,
тем
ближе это среднее значение к истинной
удельной мощности в этой точке. В
пределе при
,
т.е. при стягивании объема в точку, мы
получим истинную удельную мощность
источников в точкеР,
называемую дивергенцией (расхождением)
вектора
:
.
Полученное выражение справедливо для
любого вектора. Интегрирование ведется
по замкнутой поверхностиS,
ограничивающей
объем V
.
Дивергенция определяется поведением
векторной функции
вблизи точкиР.
Дивергенция - это скалярная функция
координат, определяющих п
оложение
точкиР
в пространстве.
Найдем
выражение для дивергенции в декартовой
системе координат. Рассмотрим в
окрестности точки Р(x,y,z)
малый объем в виде параллелепипеда с
ребрами, параллельными осям координат
(рис.7.3). В виду малости объема (его будем
стремить к нулю) значения
в пределах каждой из шести граней
параллелепипеда можно считать
неизменными. Поток через всю замкнутую
поверхность образуется из потоков,
текущих через каждую из шести граней
в отдельности.
Найдем
поток через пару граней, перпендикулярных
ост Х
на
рис.7.3 грани 1 и 2).
Внешняя нормаль
к грани 2 совпадает с направлением осиХ
.
Поэтому
и поток через грань 2 равен
.Нормаль
имеет направление, противоположное
осиХ.
Проекции
вектора
на осьХ
и на нормаль
имеют противоположные знаки,
,
и поток через грань 1 равен
.
Суммарный поток в направленииХ
равен
.
Разность
представляет собой приращение
при
смещении вдоль оси Х
на
.
Ввиду малости
.
Тогда получаем
.
Аналогично, через пары граней,
перпендикулярных осямY
и
Z
, потоки равны
и
.
Полный поток через замкнутую поверхность.
Разделив это выражение на
,
найдем
дивергенцию вектора
в точкеР
:
.
Зная
дивергенцию вектора
в каждой точке пространства, можно
вычислить поток этого вектора через
любую поверхность конечных размеров.
Для этого разобьем объем, ограниченный
поверхностьюS
,
на бесконечно большое число бесконечно
малых элементов
(рис.7.4).
Для
любого элемента
поток вектора
через поверхность этого элемента равен
. Просуммировав по всем элементам
,
получаем поток через поверхностьS
,
ограничивающую объем V
:
,
интегрирование производится объемуV,
или
.
Э
то
теорема Остроградского – Гаусса. Здесь
,
- единичный вектор нормали к поверхностиdS
в данной точке.
Вернемся
к течению несжимаемой жидкости. Построим
контур
.
Представим себе, что мы каким-то образом
заморозили мгновенно жидкость во всем
объеме за исключением очень тонкого
замкнутого канала постоянного сечения,
включающего в себя контур
(рис.7.5). В зависимости от характера
течения жидкость в образовавшемся
канале окажется либо неподвижной, либо
движущейся (циркулирующей) вдоль контура
в одном из возможных направлений. В
качестве меры этого движения выбирается
величина, равная произведению скорости
жидкости в канале и длины контура,
.
Эта величина называется циркуляцией
вектора
по
контуру
(так как канал имеет постоянное сечение
и модуль скорости не меняется). В момент
затвердевания стенок у каждой частицы
жидкости в канале будет гаситься
составляющая скорости, перпендикулярная
к стенке и останется лишь составляющая,
касательная к контуру. С этой составляющей
связан импульс
,
модуль которого для частицы жидкости,
заключенной в отрезке канала длиной
,
равен
,
где
- плотность жидкости,
-
сечение канала. Жидкость идеальная –
трения нет, поэтому действие стенок
может изменить только направление
,
его величина останется постоянной.
Взаимодействие между частицами жидкости
вызовет такое перераспределение
импульса между ними, которое выровняет
скорости всех частиц. При этом
алгебраическая сумма импульсов
сохраняется, поэтому
,
где
-
скорость
циркуляции,
-
касательная составляющая скорости
жидкости в объеме
в
момент времени, предшествовавший
затвердеванию стенок. Разделив на
,
получим
.
Ц
иркуляция
характеризует свойства поля, усредненные
по области с размерами порядка поперечника
контура
.
Чтобы получить характеристику поля в
точкеР
,
нужно уменьшит размеры контура, стягивая
его в точку Р
.
При этом в качестве характеристики
поля берут предел отношения циркуляции
вектора
по
плоскому контуру
,
стягивающемуся в точкуР
,
к величине плоскости контура S
:
.
Величина этого предела зависит не
только от свойств поля в точке Р
,
но и от ориентации контура в пространстве,
которая может быть задана направлением
положительной нормали
к плоскости контура (положительной
считается нормаль, связанная с
направлением обхода контура правилом
правого винта). Определяя этот предел
для разных направлений
,
мы получим разные его значения, причем
для противоположный направлений нормаль
эти значения отличаются знаком. Для
некоторого направления нормали величина
предела будет максимальной. Таким
образом, величина предела ведет себя
как проекция некоторого вектора на
направление нормали к плоскости контура,
по которому берется циркуляция.
Максимальное значение предела определяет
модуль этого вектора, а направление
положительной нормали, при котором
достигается максимум, дает направление
вектора. Этот вектор называется ротором
или вихрем вектора
:
.
Чтобы
найти проекции ротора на оси декартовой
система координат, нужно определить
значения предела для таких ориентаций
площадки S
, при которых нормаль
к площадке совпадает с одной из осейX,Y,Z.
Если,
например, направить
по
оси
Х
,
найдем
.
Контур
расположен
в этом случае в плоскости, параллельнойYZ
,
возьмем
контур в виде прямоугольника со сторонами
и
.
При
значения
и
на
каждой из четырех сторон контура можно
считать неизменными. Участок 1 контура
(рис.7.6) противоположен осиZ
,
поэтому
на
этом участке совпадает с
,
на участке 2
,
на участке 3
, на участке 4
. Для циркуляции по этому контуру
получаем значение:
.
Разность
представляет
собой приращение
при
смещении вдоль Y
на
.
Ввиду малости
это приращение можно представить в
виде
.Аналогично,
разность
.
Тогда
циркуляция по рассматриваемому контуру
,
где
-
площадь
контура.
Разделив
циркуляцию на
,
найдем проекцию ротора на
ось
Х
:
.
Аналогично,
,
.
Тогда ротор вектора
определяется выражением:
+
,
или
.
З
ная
ротор вектора в каждой точке некоторой
поверхностиS
,
можно вычислить циркуляцию этого
вектора по контуру
,
ограничивающему поверхностьS
.
Для этого разобьем поверхность на очень
малые элементы
(рис.7.7). Циркуляция по контуру,
ограничивающему
равна
,
где
-
положительная нормаль к элементу
.
Просуммировав эти выражения по всей
поверхности S
и
подставив выражение для циркуляции,
получим
.
Это теорема Стокса.
Часть
жидкости, ограниченная линиями тока,
называется трубкой тока. Вектор
,будучи
в каждой точке касательным к линии
тока, будет касательным к поверхности
трубки тока, и частицы жидкости не
пересекают стенок трубки тока.
Рассмотрим
перпендикулярное к направлению скорости
сечение трубки тока S
(рис.7.8.).
Будем считать, что скорость частиц
жидкости одинакова во всех точках этого
сечения. За время
через сечениеS
пройдут
все частицы, расстояние которых
в начальный момент не превышает значения
.
Следовательно, за время
через
сечениеS
,
а за единицу времени через сечениеS
пройдет объем жидкости, равный
..
Будем считать, что трубка тока настолько
тонкая, что скорость частиц в каждом
ее сечении можно считать постоянной.
Если жидкость несжимаемая (т.е. ее
плотность всюду одинакова и не меняется),
то количество жидкости между сечениями
и
(рис.7.9.) будет оставаться неизменным.
Тогда объемы жидкости, протекающие за
единицу времени через сечения
и
,
должны быть одинаковыми:
.
Таким
образом, для несжимаемой жидкости
величина
в любом сечении одной и той же трубки
тока должна быть одинакова:
.
Это
утверждение называется теоремой о
неразрывности струи.
Движение идеальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса:
,
где
t
- время, x,y,z
– координаты жидкой частицы,
-
проекции
объемной силы, р
– давление, ρ – плотность среды. Это
уравнение позволяет определить проекции
скорости частицы среды как функции
координат и времени. Чтобы замкнуть
систему, к уравнению Навье- Стокса
добавляют уравнение неразрывности,
которое является следствием теоремы
о неразрывности струи:
.
Для интегрирования этих уравнений
требуется задать начальные (если
движение не является стационарным) и
граничные условия.
