Главная > Ценные бумаги > Обратные тригонометрические функции. Основные тригонометрические тождества, их формулировки и вывод Тангенс и арктангенс взаимно обратные функции


Обратные тригонометрические функции. Основные тригонометрические тождества, их формулировки и вывод Тангенс и арктангенс взаимно обратные функции




Определение и обозначения

Арксинус (y = arcsin x ) - это функция, обратная к синусу (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений -π/2 ≤ y ≤ π/2 .
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус (y = arccos x ) - это функция, обратная к косинусу (x = cos y ). Он имеет область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π .
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус


График функции y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Свойства - экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin x y = arccos x
Область определения и непрерывность - 1 ≤ x ≤ 1 - 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0 x = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x arcsin x arccos x
град. рад. град. рад.
- 1 - 90° - 180° π
- - 60° - 150°
- - 45° - 135°
- - 30° - 120°
0 0° 0 90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90° 0° 0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

См. также: Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности


при или

при и

при и


при или

при и

при и


при

при


при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. также: Вывод формул

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков :
,
где - многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin t . Интегрируем по частям, учитывая что -π/2 ≤ t ≤ π/2 , cos t ≥ 0 :
.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| < 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

Обратные тригонометрические функции - это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях - обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с .

Например, арифметический квадратный корень из числа а - такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a - такое число с, что

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения - это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения - иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен - это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, - это

А вторая серия решений нашего уравнения - это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений - .

Осталось выяснить - зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса - отрезок Область значений - отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у - по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля - это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? - Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы - это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: - это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

0
0

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное - , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» - так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально - и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке - значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус - взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций - это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса - отрезок Область значений - отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Значит, , поскольку ;

Так как ;

Так как ,

Так как ,

0
0

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида - она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие - арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса - промежуток Область значений - интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка - точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график - уже понятно. Поскольку арктангенс - функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений - интервал

Значит,

Значит,

Значит,

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? - Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке - график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

6. Функции и являются взаимно обратными - конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция - общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и - горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

На этом уроке мы рассмотрим особенности обратных функций и повторим обратные тригонометрические функции . Отдельно будут рассмотрены свойства всех основных обратных тригонометрических функций: арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В7 и С1 .

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 9. Обратные тригонометрические функции.

Теория

Конспект урока

Вспомним, когда мы встречаемся с таким понятием как обратная функция. Например, рассмотрим функцию возведения в квадрат. Пусть у нас есть квадратная комната со сторонами по 2 метра и мы хотим вычислить ее площадь. Для этого по формуле пощади квадрата возводим двойку в квадрат и в результате получаем 4 м 2 . Теперь представим себе обратную задачу: мы знаем площадь квадратной комнаты и хотим найти длины ее сторон. Если мы знаем, что площадь равна все тем же 4 м 2 , то выполним обратное действие к возведению в квадрат - извлечение арифметического квадратного корня, который нам даст значение 2 м.

Таким образом, для функции возведения числа в квадрат обратной функцией является извлечение арифметического квадратного корня.

Конкретно в указанном примере у нас не возникло проблем с вычислением стороны комнаты, т.к. мы понимаем, что это положительное число. Однако если оторваться от этого случая и рассмотреть задачу более общим образом: «Вычислить число, квадрат которого равен четырем», мы столкнемся с проблемой - таких чисел два. Это 2 и -2, т.к. тоже равна четырем. Получается, что обратная задача в общем случае решается неоднозначно, и действие определения числа, которое в квадрате дало известное нам число? имеет два результата. Это удобно показать на графике:

А это значит, что такой закон соответствия чисел мы не можем назвать функцией, поскольку для функции одному значению аргумента соответствует строго одно значение функции.

Для того чтобы ввести именно обратную функцию к возведению в квадрат и было предложено понятие арифметического квадратного корня, который дает только неотрицательные значения. Т.е. для функции обратной функцией считается .

Аналогично существуют и функции, обратные к тригонометрическим, их называют обратными тригонометрическими функциями . К каждой из рассмотренных нами функций существует своя обратная, их называют: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс .

Эти функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, с использованием таблицы значений основных тригонометрических функций можно вычислить синус какого угла равен . Находим это значение в строке синусов и определяем, какому углу оно соответствует. Первое, что хочется ответить, что это угол или , но если у вас в распоряжении таблица значений до , вы тут же заметите еще одного претендента на ответ, - это угол или . А если мы вспомним о периоде синуса, то поймем, что углов, при которых синус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для косинусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью.

Т.е. мы сталкиваемся с той же проблемой, которая была для вычисления значения аргумента по значению функции для действия возведения в квадрат. И в данном случае для обратных тригонометрических функций было введено ограничение области значений, которые они дают при вычислении. Это свойство таких обратных функций называют сужением области значений , и оно необходимо для того, чтобы их можно было называть функциями.

Для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно. Например, арксинус возвращает значения углов в диапазоне от до .

Умение работать с обратными тригонометрическими функциями нам пригодится при решении тригонометрических уравнений.

Сейчас мы укажем основные свойства каждой из обратных тригонометрических функций. Кто захочет познакомиться с ними более подробно, обратитесь к главе «Решение тригонометрических уравнений» в программе 10 класса.

Рассмотрим свойства функции арксинус и построим ее график.

Определение. Арксинусом числа x

Основные свойства арксинуса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арксинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная Эту формулу желательно отдельно запомнить, т.к. она полезна для преобразований. Также отметим, что из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

Построим график функции :

Обратим внимание, что никакой из участков графика функции не повторяется, а это означает, что арксинус не является периодической функцией, в отличие от синуса. То же самое будет относиться и ко всем остальным аркфункциям.

Рассмотрим свойства функции арккосинус и построим ее график.

Определение. Арккосинусом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем как ограничения на значения синуса, а как выбранный диапазон углов.

Основные свойства арккосинуса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арккосинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция не является ни четной ни нечетной, т.е. общего вида . Эту формулу тоже желательно запомнить, она пригодится нам позже;

4) Функция монотонно убывает.

Построим график функции :

Рассмотрим свойства функции арктангенс и построим ее график.

Определение. Арктангенсом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем т.к. ограничений на значения тангенса нет, а как выбранный диапазон углов.

Основные свойства арктангенса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арктангенс:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная . Эта формула тоже полезна, как и аналогичные ей. Как в случае с арксинусом, из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

4) Функция монотонно возрастает.

Построим график функции :

    К обратным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: арксинус , арккосинус , арктангенс , арккотангенс , арксеканс и арккосеканс .

    Поскольку исходные тригонометрические функции периодические, то обратные функции, вообще говоря, являются многозначными . Чтобы обеспечить однозначное соответствие между двумя переменными, области определения исходных тригонометрических функций ограничивают, рассматривая лишь их главные ветви . Например, функция \(y = \sin x\) рассматривается лишь в промежутке \(x \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\). На этом интервале обратная функция арксинус определена однозначно.

    Функция арксинус
    Арксинусом числа \(a\) (обозначается \(\arcsin a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\), при котором \(\sin x = a\). Обратная функция \(y = \arcsin x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений равна \(y \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\).

    Функция арккосинус
    Арккосинусом числа \(a\) (обозначается \(\arccos a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором \(\cos x = a\). Обратная функция \(y = \arccos x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений принадлежит отрезку \(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).

    Функция арктангенс
    Арктангенсом числа a (обозначается \(\arctan a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале \(\left({-\pi/2, \pi/2} \right)\), при котором \(\tan x = a\). Обратная функция \(y = \arctan x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область значений арктангенса равна \(y \in \left({-\pi/2, \pi/2} \right)\).

    Функция арккотангенс
    Арккотангенсом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccot } a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором \(\cot x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccot } x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область ее значений находится в интервале \(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).

    Функция арксеканс
    Арксекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arcsec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором \(\sec x = a\). Обратная функция \(y = \text{arcsec } x\) определена при \(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений принадлежит множеству \(y \in \left[ {0,\pi /2} \right) \cup \left({\pi /2,\pi } \right]\).

    Функция арккосеканс
    Арккосекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccsc } a\) или \(\text{arccosec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором \(\csc x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccsc } x\) определена при \(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений принадлежит множеству \(y \in \left[ { - \pi /2,0} \right) \cup \left({0,\pi /2} \right]\).

    Главные значения функций арксинус и арккосинус (в градусах)

    \(x\) \(-1\) \(-\sqrt 3/2\) \(-\sqrt 2/2\) \(-1/2\) \(0\) \(1/2\) \(\sqrt 2/2\) \(\sqrt 3/2\) \(1\)
    \(\arcsin x\) \(-90^\circ\) \(-60^\circ\) \(-45^\circ\) \(-30^\circ\) \(0^\circ\) \(30^\circ\) \(45^\circ\) \(60^\circ\) \(90^\circ\)
    \(\arccos x\) \(180^\circ\) \(150^\circ\) \(135^\circ\) \(120^\circ\) \(90^\circ\) \(60^\circ\) \(45^\circ\) \(30^\circ\) \(0^\circ\)

    Главные значения функций арктангенс и арккотангенс (в градусах)

    \(x\) \(-\sqrt 3\) \(-1\) \(-\sqrt 3/3\) \(0\) \(\sqrt 3/3\) \(1\) \(\sqrt 3\)
    \(\arctan x\) \(-60^\circ\) \(-45^\circ\) \(-30^\circ\) \(0^\circ\) \(30^\circ\) \(45^\circ\) \(60^\circ\)
    \(\text{arccot } x\) \(150^\circ\) \(135^\circ\) \(120^\circ\) \(90^\circ\) \(60^\circ\) \(45^\circ\) \(30^\circ\)

В ряде задач математики и её приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если $\sin α=1/2,$ то угол $α$ может быть равен и $30°$ и $150°,$ или в радианной мере $π/6$ и $5π/6,$ и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида $360°⋅k,$ или соответственно $2πk,$ где $k$ - любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции $y=\sin x$ на всей числовой прямой (см. рис. $1$): если на оси $Oy$ отложить отрезок длины $1/2$ и провести прямую, параллельную оси $Ox,$ то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus - «дуга»).

Основным четырем тригонометрическим функциям $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm{tg}\,x$ и $\mathrm{ctg}\,x$ соответствуют четыре аркфункции $\arcsin x,$ $\arccos x,$ $\mathrm{arctg}\,x$ и $\mathrm{arcctg}\,x$ (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции \arcsin x и \mathrm{arctg}\,x, поскольку две другие выражаются через них по формулам:

$\arccos x = \frac{π}{2} − \arcsin x,$ $\mathrm{arcctg}\,x = \frac{π}{2} − \mathrm{arctg}\,x.$

Равенство $y = \arcsin x$ по определению означает такой угол $y,$ выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от $−\frac{π}{2}$ до $\frac{π}{2},$ синус которого равен $x,$ т. е. $\sin y = x.$ Функция $\arcsin x$ является функцией, обратной функции $\sin x,$ рассматриваемой на отрезке $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right],$ где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от $−1$ до $+1.$ Очевидно, что аргумент $y$ функции $\arcsin x$ может принимать значения лишь из отрезка $\left[−1,+1\right].$ Итак, функция $y=\arcsin x$ определена на отрезке $\left[−1,+1\right],$ является монотонно возрастающей, и её значения заполняют отрезок $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right].$ График функции показан на рис. $2.$

При условии $−1 ≤ a ≤ 1$ все решения уравнения $\sin x = a$ представим в виде $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1,± 2,… .$ Например, если

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ то $x = (−1)^n \frac{π}{4}+πn,$ $n = 0, ±1, ±2, … .$

Соотношение $y=\mathrm{arcctg}\,x$ определено при всех значениях $x$ и по определению означает, что угол $y,$ выраженный в радианной мере, заключей в пределах

$−\frac{π}{2}

и тангенс этого угла равен x, т. е. $\mathrm{tg}\,y = x.$ Функция $\mathrm{arctg}\,x$ определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции $\mathrm{tg}\,x$, которая рассматривается лишь на интервале

$−\frac{π}{2}

Функция $у = \mathrm{arctg}\,x$ монотонно возрастающая, её график дан на рис. $3.$

Все решения уравнения $\mathrm{tg}\,x = a$ могут быть записаны в виде $x=\mathrm{arctg}\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция $\mathrm{arctg}\,x.$ Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента $x=1$ получил знаменитое представление числа к бесконечным рядом