Уравнения поверхностей первого порядка. Алгебраические поверхности первого порядка. §2. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
Поверхность
Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F(x; y; z) = 0.
Линия в пространстве
Если уравнения F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определяют некоторую поверхность, то линия L (x; y; z) = 0 может быть определена как геометрическое место точек общих для обеих поверхностей (линия пересечения поверхностей)
Плоскость, как поверхность первого порядка
Существует, как минимум, три определения плоскости:
1) Плоскость есть поверхность, которая полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.
2) Плоскость есть множество точек пространства, равноудаленных от данных двух точек.
А теперь об одной из форм уравнения плоскости.
Во-первых, со школьных времен известно; «любые не совпадающие и не лежащие на одной прямой три точки определяют плоскость, причем единственную». Не случайно абсолютно устойчив (т.е. «не качается») стул на трех ножках и не устойчив («качается») стул на двух и более чем на трех ножках. Во-вторых, вектор нормали к плоскости ориентирует ее в пространстве (см. Рис.31)
Пусть искомая плоскость р проходит через точку М 0 перпендикулярно вектору, тогда
Во-первых, вектор есть результат векторного произведения вектора М 0 М 2 на вектор М 0 М 1
Во-вторых, вектор перпендикулярен и вектору М 0 М 2 , и вектору М 1 М 2 . Откуда, из условия ортогональности векторов получаем, что скалярное произведение на вектор М 0 М 2 (или на вектор М 0 М 1) равно нулю. Если точка М 2 имеет координаты (x; y; z), то скалярное произведение вектора на вектор М 0 М 2 должно быть равно нулю. С учетом того, что вектор М 0 М 2 определяется как
получаем, что
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору
Пример 30 (получение уравнения плоскости)
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1; 1; 1) перпендикулярно вектору
Решение
В нашем случае
А=1, В= 1 и С =1;
x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,
следовательно, уравнение плоскости имеет вид
Или, окончательно,
Ответ
Искомая плоскость определяется уравнением
Общее уравнение плоскости
Вообще, любое уравнение вида
A x + B y + C z + D = 0
определяет плоскость (где А, В и С - координаты вектора-нормали к плоскости). Такая форма уравнения плоскости получила название «общее уравнение плоскости».
Неполные уравнения плоскости
Пусть плоскость задана своим общим уравнением
A x + B y + C z + D = 0, (*)
1) если D = 0, то (*) определяет плоскость, проходящую через начало координат;
2) если А = 0, то B y + C z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Ox (т.к.);
3) если В = 0, то A x + C z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oy (т.к.);
4) если C = 0, то A x + B y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oz (т.к.);
5) А = 0; В = 0, то C z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxy;
6) A = 0; C = 0, то В y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxz;
7) B = 0; C = 0, то A x + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oyz;
8) A = 0, B = 0, D = 0, то С z = 0 - это плоскость Oxy;
9) A = 0, C = 0, D = 0, то B y = 0 - это плоскость Oxz;
10) B = 0, C = 0, D = 0, то A z = 0 - это плоскость Oyz.
Точно так же, как было ранее с общим уравнением прямой на плоскости , из общего уравнения можно получить и другие формы уравнения плоскости. Одна из этих форм уравнение плоскости в отрезках.
Из общего уравнения плоскости
A x + B y + C z + D = 0
Получается уравнение плоскости в отрезках
Последнее выражение получило название «уравнение плоскости в отрезках»
Уравнение плоскости в отрезках
где a, b и с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.
Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.
Т.е., векторы-нормали имеют координаты
Для плоскости
Для плоскости
И пусть плоскости не совпадают и не параллельны (см. Рис.32)
Угол между двумя плоскостями
Угол между плоскостями определяется углом между нормальными векторами, а как найти угол между векторами мы уже знаем:
если ц - угол между векторами, то это же и угол между плоскостями р 1 и р 2
Откуда два важных следствия (условия)
Условие перпендикулярности двух плоскостей
Две плоскости перпендикулярны при условии, что
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.
Уравнение первого порядка с тремя неизвестными имеет вид Ax + Ву + Cz + D = 0, причем хотя бы один из коэффициентов A, В, C должен быть отличен от нуля. Оно задает в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz алгебраическую поверхность первого порядка .
Свойства алгебраической поверхности первого порядка во многом аналогичны свойствам прямой на плоскости - геометрическому образу уравнения первого порядка с двумя неизвестными .
Теорема 5.1. Любая плоскость в пространстве является поверхностью первого порядка и любая поверхность первого порядка в пространстве есть плоскость.
◄ Как утверждение теоремы, так и ее доказательство аналогичны теореме 4.1. Действительно, пусть плоскость π задана своей точкой М 0 и ненулевым вектором n, который ей перпендикулярен. Тогда множество всех точек в пространстве разбивается на три подмножества. Первое состоит из точек, принадлежащих плоскости, а два других - из точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости. Какому из этих множеств принадлежит произвольная точка M пространства, зависит от знака скалярного произведения nM 0 M . Если точка M принадлежит плоскости (рис. 5.1, а), то угол между векторами n и M 0 M прямой, и поэтому, согласно теореме 2.7, их скалярное произведение равно нулю:
nM 0 M = 0
Если же точка M не принадлежит плоскости, то угол между векторами n и M 0 M острый или тупой, и поэтому nM 0 M > 0 или nM 0 M
Обозначим координаты точек M 0 , M и вектора n через (х 0 ; у 0 ; z 0), (х; у; z) и {A; В; C} соответственно. Так как M 0 M = {х - х 0 0; у - у 0 ; z - z 0 }, то, записывая скалярное произведение из (5.1) в координатной форме (2.14) как сумму попарных произведений одноименных координат векторов n и M 0 M , получаем условие принадлежности точки M рассматриваемой плоскости в виде
A(x - х 0) + В(у - у 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)
Раскрытие скобок дает уравнение
Ax + Ву + Cz + D = 0, (5.3)
где D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 и хотя бы один из коэффициентов A, В, или C отличен от нуля, так как вектор n = {A; В; C} ненулевой. Это означает, что плоскость является геометрическим образом уравнения (5.3), т.е. алгебраической поверхностью первого порядка.
Проведя изложенное доказательство первого утверждения теоремы в обратном порядке, мы докажем, что геометрическим образом уравнения Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0, является плоскость. Выберем три числа (х = х 0 , у = у 0 , z = z 0), удовлетворяющих этому уравнению. Такие числа существуют. Например, при A ≠ 0 можно положить у 0 = 0, z 0 = 0 и тогда х 0 = - D/A. Выбранным числам соответствует точка M 0 (x 0 ; у 0 ; z 0), принадлежащая геометрическому образу заданного уравнения. Из равенства Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 следует, что D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . Подставляя это выражение в рассматриваемое уравнение, получаем Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, что равносильно (5.2). Равенство (5.2) можно рассматривать как критерий ортогональности векторов n = {A; В; C} и M 0 M , где точка M имеет координаты (х; у; z). Этот критерий выполнен для точек плоскости, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору n = {A; В; C}, и не выполнен для остальных точек пространства. Значит, уравнение (5.2) есть уравнение указанной плоскости.
Уравнение Ax + Ву + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости . Коэффициенты A, В, C при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: вектор n = {A; В; C} перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным вектором плоскости . Он, как и общее уравнение плоскости, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.
По известным координатам точки, принадлежащей некоторой плоскости, и ненулевого вектора, перпендикулярного ей, с помощью (5.2) уравнение плоскости записывается без каких-либо вычислений.
Пример 5.1. Найдем общее уравнение плоскости, перпендикулярной радиус-вектору точки A(2; 5; 7) и проходящей через точку М 0 (3; - 4; 1).
Поскольку ненулевой вектор OA = {2; 5; 7} перпендикулярен искомой плоскости, то ее уравнение типа (5.2) имеет вид 2(х - 3) + 5(у + 4) + 7(z- 1) = 0. Раскрывая скобки, получаем искомое общее уравнение плоскости 2х + 5у + 7z + 7 = 0.
§7. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору Введѐм в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz и рассмотрим уравнение первой степени (или линейное уравнение) относительно x, y, z: (7.1) Ax By Cz D 0, A2 B2 C 2 0 . Теорема 7.1. Любая плоскость может быть задана в произвольной прямоугольной декартовой системе координат уравнением вида (7.1). Точно так же, как и в случае прямой на плоскости, справедлива теорема, обратная теореме 7.1. Теорема 7.2. Любое уравнение вида (7.1) задаѐт в пространстве плоскость. Доказательство теорем 7.1 и 7.2 можно провести аналогично доказательству теорем 2.1, 2.2. Из теорем 7.1 и 7.2 следует, что плоскость и только она является поверхностью первого порядка. Уравнение (7.1) называется общим уравнением пло-скости. Его коэффициенты A, B, C трактуются геометрически как координаты вектора n , перпендикулярного плоскости, определяемой этим уравнением. Этот вектор n(A, B, C) называется вектором нормали к данной плоскости. Уравнение (7.2) A(x x0) B(y y0) C (z z0) 0 при всевозможных значениях коэффициентов A, B, C задаѐт все плоскости, про-ходящие через точку M 0 (x0 , y0 , z0) . Оно называется уравнением связки плоскостей. Выбор конкретных значений A, B, C в (7.2) означает выбор плоскости P из связки, проходящей через точку M 0 перпендикулярно заданному вектору n(A, B, C) (рис.7.1). Пример 7.1. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точку А(1, 2, 0) параллельно векторам a (1, 2,–1), b (2, 0, 1) . Вектор нормали n к Р ортогонален данным векторам a и b (рис. 7.2), поэтому за n можно взять их векторное n произведение: А Р i j k 2 1 1 1 2 n a b 1 2 1 i j 2 1 k 12 0 0 1 2 0 1 n a b 2i 3 j 4k . Подставим координаты Рис. 7.2. К примеру 7.1 P M0 точки M 0 и вектора n в уравнение (7.2), получим Рис. 7.1. К уравнению уравнение плоскости связки плоскостей P: 2(x 1) 3(y 2) 4z 0 или P: 2x 3y 4z 4 0 .◄ 1 Если два из коэффициентов A, B, C уравнения (7.1) равны нулю, оно задаѐт плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей. Например, при A B 0 , C 0 – плоскость P1: Cz D 0 или P1: z D / C (рис. 7.3). Она па-раллельна плоскости Oxy, ибо еѐ вектор нормали n1(0, 0, C) перпендикулярен этой плоскости. При A C 0 , B 0 или B C 0 , A 0 уравнение (7.1) определяет плоскости P2: By D 0 и P3: Ax D 0 , параллельные координатным плоскостям Oxz и Oyz, так как их векторы нормали n2(0, B, 0) и n3(A, 0, 0) им перпендикулярны (рис. 7.3). Если только один из коэффициентов A, B, C уравнения (7.1) равен нулю, то оно задаѐт плоскость, параллельную одной из координатных осей (или еѐ со-держащую, если D 0). Так, плоскость P: Ax By D 0 параллельна оси Oz, z z n1 n n2 P1 L P O n3 x y O P2 y P3 x Рис. 7.4. Плоскость P: Ax B y D 0 , параллельная оси Oz Рис. 7.3. Плоскости параллельные плоскостям координат поскольку еѐ вектор нормали n(A, B, 0) перпендикулярен оси Oz. Заметим, что она проходит через прямую L: Ax By D 0 , лежащую в плоскости Oxy (рис. 7.4). При D 0 уравнение (7.1) задаѐт плоскость, проходящую через начало координат. Пример 7.2. Найти значения параметра , при которых уравнение x (2 2) y (2 2)z 3 0 определяет плоскость P: а) параллельную одной из координатных плоскостей; б) параллельную одной из координатных осей; в) проходящую через начало координат. Запишем данное уравнение в виде x ( 2) y ( 2)( 1) z 3 0 . (7.3) При любом значении уравнение (7.3) определяет некоторую плоскость, так как коэффициенты при x, y, z в (7.3) не обращаются в нуль одновременно. а) При 0 уравнение (7.3) определяет плоскость P , параллельную плоскости Oxy , P: z 3 / 2 , а при 2 оно определяет плоскость P , 2 параллельную плоскости Oyz , P: x 5/ 2 . Ни при каких значениях плоскость P , определяемая уравнением (7.3), не параллельна плоскости Oxz , поскольку коэффициенты при x, z в (7.3) не обращаются в нуль одновременно. б) При 1 уравнение (7.3) определяет плоскость P , параллельную оси Oz , P: x 3y 2 0 . При остальных значениях параметра оно не определяет плоскости, параллельной только одной из координатных осей. в) При 3 уравнение (7.3) определяет плоскость P , проходящую через начало координат, P: 3x 15 y 10 z 0 . ◄ Пример 7.3. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через: а) точку M (1, 3, 2) параллельно плоскости ось Оху; б) ось Ох и точку M (2, 1, 3) . а) За вектор нормали n к Р здесь можно взять вектор k (0, 0,1) – орт оси Oz, так как он перпендикулярен плоскости Оху. Подставим координаты точки M (1, 3, 2) и вектора n в уравнение (7.2), получим уравнение плоскости P: z 3 0. б) Вектор нормали n к Р ортогонален векторам i (1, 0, 0) и OM (2, 1, 3) , поэтому за n можно взять их векторное произведение: i j k n i OM 1 0 0 j 12 03 k 12 01 3 j k . 2 1 3 Подставим координаты точки О и вектора n в уравнение (7.2), получим уравнение плоскости P: 3(y 0) (z 0) 0 или P: 3 y z 0 .◄ 3
Лекция 2. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения плоскости и их исследование. Прямая в пространстве, взаимное расположение прямых в пространстве, плоскости и прямой в пространстве. Прямая на плоскости, уравнения прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой на плоскости. Кривые второго порядка; вывод канонических уравнений, исследование уравнений и построение кривых. Поверхности II порядка, исследование канонических уравнений поверхностей. Метод сечений. 1
Элементы аналитической геометрии § 1. Плоскость. Имеем OXYZ и некоторую поверхность S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Определение 1: уравнение с тремя переменными называется уравнением поверхности S в пространстве, если этому уравнению удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки не лежащей на ней. 2
Пример. Уравнение (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) определяем сферу с центром в точке C(a, b, c) и радиусом R. M M(x, y, z) – переменная точка M ϵ (S) |CM| = R C 3
Определение 2: Поверхность S называется поверхностью n-того порядка, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени F(x, y, z) = 0 (1) В примере (S) - окружность, поверхность второго порядка. Если S - поверхность n-того порядка, то F(x, y, z) - многочлен n-той степени относительно (x, y, z) Рассмотрим единственную поверхность 1 -го порядка – плоскость. Составим уравнение плоскости проходящей через точку M (x , y , z), с вектором нормали 4
Пусть M(x, y, z) - это произвольная (текущая) точка плоскости. M M 0 О α или в координатной форме: (2) Уравнение (2) - уравнение плоскости проходящей через точку М с данным вектором нормали. 5
D (*) (3) - полное уравнение плоскости Неполное уравнение плоскости. Если в уравнении (3) несколько коэффициентов (но не A, B, C одновременно) = 0, то уравнение называется неполным и плоскость α имеет особенности в расположении. Например если D = 0, то α проходит через начало координат. 6
Расстояние от точки М 1 до плоскости α М 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 приложим к точке M 0 K 7
- расстояние от точки M 1 до плоскости α Уравнение плоскости «в отрезках» Составим уравнение плоскости отсекающей на координатных осях ненулевые отрезки с C(0, 0, c) величинами a, b, c. В качестве возьмем B(0, b, 0) Составим уравнение для т. A с A(a, 0, 0) 8
-уравнение плоскости α "в отрезках" -уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору нормали 9
§ 2. Общее уравнение прямой. Прямую в пространстве можно задать пересечением 2 -х плоскостей. (1) уравнение прямой Система вида (1) определяет прямую в пространстве, если коэффициенты A 1, B 1, C 1 одновременно непропорциональны A 2, B 2, C 2. 10
Параметрические и канонические уравнения прямой -произвольная точка прямой точка M M 0 Параметрическое уравнение t - параметр 11
Исключив t получим: - каноническое уравнение Система (3) определяет движение материальной точки, прямолинейное и равномерное из начального положения M 0(x 0, y 0, z 0) со скоростью в направлении вектора. 12
Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности. Пусть в пространстве две прямые L 1, L 2 заданы своими каноническими уравнениями: Тогда задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла
их направляющими векторами: Пользуясь определением скалярного произведения и выражением в координатах указанного скалярного произведения и длин векторов q 1 и q 2, получим для нахождения: 15
Условие параллельности прямых l 1 и l 2 соответствует коллинеарности q 1 и q 2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т. е. имеет вид: Условие перпендикулярности следует из определения скалярного произведения и его равенства нулю (при cos = 0) и имеет вид: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16
Угол между прямой и плоскостью: условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Рассмотрим плоскость P, заданную общим уравнением: Ах + By + Cz + D = 0, и прямую L, заданную каноническим уравнением: 17
Т. к. угол между прямой L и плоскостью П является дополнительным к углу между направляющим вектором прямой q = (l, m, n) и нормальным вектором плоскости n = (А, В, С), то из определения скалярного произведения q n = q n cos и равенства cos = sin (= 90 -), получим: 18
Условие параллельности прямой L и плоскости П (включающее в себя принадлежность L к П) эквивалентно условию перпендикулярности векторов q и n и выражается = 0 скалярного произведения этих векторов: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Условие перпендикулярности прямой L и плоскости П эквивалентно условию параллельности векторов n и q и выражается пропорциональностью координат этих векторов: 19
Условия принадлежности двух прямых к одной плоскости Две прямые в пространстве L 1 и L 2 могут: 1) пересекаться; 2) быть параллельными; 3) скрещиваться. В первых двух случаях прямые L 1 и L 2 лежат в одной плоскости. Установим условие принадлежности к одной плоскости двух прямых, заданных каноническими уравнениями: 20
Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора = (х2 - х1, у2 - у1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) и q 2 = (l 2, m 2, n 2), были компланарны, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение указанных трех векторов = 0. 21
Записывая смешанные произведения указанных векторов в координатах получаем необходимое и достаточное условие принадлежности двух прямых L 1 и L 2 к одной плоскости: 22
Условие принадлежности прямой к плоскости Пусть есть прямая и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Эти условия имеют вид: Ах1 + Ву1 + Сz 1 + D = 0 и Аl + Вm + Сn = 0, первое из которых означает, что точка М 1(х1, у1, z 1), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе – условие параллельности прямой и плоскости. 23
Кривые второго порядка. § 1. Понятие об уравнении линии на плоскости. Уравнение f (x, y) = 0 называется уравнением линии L в выбранной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней. 24
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25
Линия L называется линией n-того порядка, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени относительно x и y. Мы знаем единственную линию 1 -го порядка – прямую: Ax + By + D = 0 Мы будем рассматривать кривые 2 -го порядка: эллипс, гиперболу, параболу. Общее уравнение линий 2 -ого порядка имеет вид: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26
Эллипс (Э) Определение. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая расстояния между фокусами. Обозначим постоянную 2 а, расстояние между фокусами 2 с Проведем ось Х через фокусы, (а > с, а > 0, с > 0). ось Y через середины фокусного расстояния. Пусть М – произвольная точка эллипса, т. М ϵ Э r 1 + r 2 = 2 a (1), где r 1, r 2 – фокальные 27 радиусы Э.
Запишем (1) в координатной форме: (2) Это уравнение эллипса в выбранной системе координат. Упрощая (2) получим: b 2 = a 2 - c 2 (3) – каноническое уравнение эллипса. Можно показать, что (2) и (3) эквивалентны: 28
Исследование формы эллипса по каноническому уравнению 1) Эллипс – кривая 2 -го порядка 2) Симметрия эллипса. т. к. x и y входят в (3) лишь в четных степенях, то эллипс имеет 2 оси и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с выбранными осями координат и точкой О. 29
3) Расположение эллипса Т. е. весь Э расположен внутри прямоугольника, стороны которого x = ± a и y = ± b. 4) Пересечение с осями. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); С ОХ: вершины эллипса С ОУ: B 1(0; b); B 2(0; -b); В силу симметрии эллипса рассмотрим его поведение (↓) лишь в I четверти. 30
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31
Гипербола (Г) Определение: Г – множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых до 2 -х фиксированных точек плоскости F 1 , F 2 есть величина постоянная и
Упрощая (1): (2) – каноническое уравнение Г. (1) и (2) – эквивалентны. Исследование гиперболы по каноническому уравнению 1) Г- линия 2 -го порядка 2) Г имеет две оси и один центр симметрии, которые в нашем случае совпадают с координатными осями и началом координат. 3) Расположение гиперболы. 34
Гипербола расположена вне полосы между прямыми x = a, x = -a. 4) Точки пересечения с осями. OX: OY: не имеет решений A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – действительные вершины Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – мнимые вершины Г 2 a – действительная ось Г 2 b – мнимая ось Г 35
5) Асимптоты гиперболы. В силу симметрии Г рассмотрим ее часть в I четверти. Разрешив (2) относительно y, получим: уравнение Г в I четверти x ≥ 0 Рассмотрим прямую: т. к. в I четверти x>0, то т. е. в I четверти при одной и той же абсциссе, ордината прямой > ординаты соответствующей точки Г, т. е. в I четверти Г лежит ниже этой прямой. Вся Г лежит внутри вертикального угла со сторонами 36
6) Можно показать, что в I ч. Г возрастает 7) План построения Г а) строим прямоугольник 2 a, 2 b б) проводим его диагонали в) отметим А 1, А 2 – действительные вершины Г и 38 впишем эти ветви
Парабола (П) Рассмотрим d (директрису) и F (фокус) на плоскости. Определение. П – множество всех точек плоскости, равноудаленных от прямой d и точки F (фокус) 39
d-директриса F-фокус XOY точка М П тогда, |MF| = |MN| (1) уравнение П, выбранной в системе координат Упрощая (1) получим y 2 = 2 px (2) – каноническое уравнение П. (1) и (2) эквивалентны 40
Исследование П по каноническому уравнению x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41
§ 4. Цилиндры. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осями Через точку х линии L проведем прямую параллельную оси OZ. Поверхность, образованная этими прямыми называется цилиндрической поверхностью или цилиндром (Ц). Любая прямая параллельная оси OZ называется образующей. l - направляющая цилиндрической поверхности плоскости XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42
Пусть М(x, y, z) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Спроецируем ее на L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 то есть координаты М удовлетворяют (1) очевидно, что если М Ц, то она не проектируется в точку М 0 ϵ L и следовательно, координаты М не будут удовлетворять уравнению (1), которое определяет Ц с образующей параллельной оси OZ в пространстве. Аналогично можно показать, что: Ф(x, z) = 0 в пространстве Ц || OY 43 (y, z) = 0 определяет в пространстве Ц || OX
Проекция пространственной линии на координатной плоскости Линию в пространстве можно задать параметрически и пересечением поверхностей. Одну и ту же линию можно задать ∩ различных поверхностей. Пусть пространственная линия L задается ∩ двух поверхностей α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 уравнение L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Найдем проекцию L на плоскость XOY из уравнения (1) исключаем Z. Получим уравнение: Z(x, y) = 0 – в пространстве это уравнение Ц с образующей || OZ и направляющей L. 46
Проекция: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Поверхности второго порядка Эллипсоид – каноническое уравнение поверхности имеет вид: 1) Эллипсоид – поверхность второго порядка. 2) X, Y, Z входят в уравнение лишь в четных степенях => поверхность имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с координатными плоскостями и началом координат. 47
3) Расположение эллипсоида Поверхность заключена между || плоскостями с уравнениями x = a, x = -a. Аналогично т. е. вся поверхность заключена внутри прямоугольного параллелепипеда. х = ± а, y = ± b, z = ± с. Будем исследовать поверхность методом сечений – пересекая поверхность координатными плоскостями || координатным. В сечении будем получать линии, по форме которых будем судить о форме поверхности. 48
Пересечем поверхность плоскостью XOY. В сечении получим линию. - эллипс a и b – полуоси Аналогично с плоскостью YOZ -эллипс с полуосями b и с Плоскость || XOY Если h(0, с), то оси эллипса убывают от a и b до 0. 49
a = b = с - сфера Параболоиды а) Гиперболический параболоид – поверхность с каноническим уравнением: 1) Поверхность второго порядка 2) Так как x, y входят в уравнение лишь в четных степенях, то поверхность имеет плоскости симметрии, которые при данном выборе координат совпадают с 50 плоскостями XOZ, YOZ.
3) исследуем поверхность методом сечения седло пл. XOZ В сечении парабола симметричная оси OZ, восходящая. пл. YOZ 51
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53
б) Двуполостный гиперболоид 1) поверхность второго порядка 2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии 3) расположение поверхности x 2 ≥ a 2 ; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Поверхность состоит из двух частей, расположенных вне полосы между плоскостями с уравнениями x = a, x = -a 4) исследуем методом сечений (Самостоятельно!) 57
Конус второго порядка Конусом второго порядка называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: 1) поверхность второго порядка 2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии 3) исследуем методом сечений пл. XOY 58
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59
60
1.7.1. Плоскость.
Рассмотрим в декартовом базисе произвольную плоскость Р и вектор нормали (перпендикулярный) к ней `n (А, В, С). Возьмем в этой плоскости произвольную фиксированную точку М0(х0, у0, z0) и текущую точку М(х, у, z).
Очевидно, что ?`n = 0 (1.53)
(см.(1.20) при j = p /2). Это уравнение плоскости в векторной форме. Переходя к координатам, получим общее уравнение плоскости
А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).
(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).
Можно показать, что в декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет плоскость, (т.е. плоскость есть поверхность первого порядка и поверхность первого порядка есть плоскость).
Рассмотрим некоторые частные случаи расположения плоскости, заданной общим уравнением:
А = 0 – параллельна оси Ох; В = 0 – параллельна оси Оу; С = 0 – параллельна оси Оz. (Такие плоскости, перпендикулярные одной из координатных плоскостей, называют проектирующими); D = 0 – проходит через начало координат; А = В = 0 – перпендикулярна оси Оz (параллельна плоскости хОу); А = В = D = 0 – совпадает с плоскостью хОу (z = 0). Аналогично анализируются все остальные случаи.
Если D ? 0, то, разделив обе части (1.54) на -D, можно привести уравнение плоскости к виду: (1.55),
а = – D /А, b = –D/ В, с =–D /С. Соотношение (1.55) называетcя уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Оz, а |a|, |b|, |c| – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на соответствующих осях от начала координат.
Умножая обе части (1.54) на нормирующий множитель (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)
где cosa = Аm, cosb = Вm, cosg = Сm – направляющие косинусы нормали к плоскости, р – расстояние до плоскости от начала координат.
Рассмотрим основные соотношения, используемые в расчетах. Угол между плоскостями А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0 легко определить как угол между нормалями этих плоскостей `n1 (А1, В1, С1) и
`n2 (А2, В2, С2): 
(1.57)
Из (1.57) легко получить условие перпендикулярности
А1А2 + В1 В2 + С1 С2 = 0 (1.58)
и параллельности 
(1.59) плоскостей и их нормалей.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости (1.54)
определяется выражением: 
(1.60)
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3) удобнее всего записать используя условие компланарности (1.25) векторов где М(х, у, z) – текущая точка плоскости.
(1.61)
Приведем уравнение пучка плоскостей (т.е.
Множества плоскостей, проходящих через одну прямую) – его удобно использовать в ряде задач.
(А1х + В1у + С1z + D1) + l(А2х + В2у + С2z + D2) = 0 (1.62)
Где l Î R, а в скобках - уравнения двух любых плоскостей пучка.
Контрольные вопросы.
1) Как проверить, что данная точка лежит на поверхности, заданной данным уравнением?
2) Каков характерный признак, отличающий уравнение плоскости в декартовой системе координат от уравнения других поверхностей?
3) Как расположена плоскость относительно системы координат, если в её уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) две координаты; г) одна из координат и свободный член; д) две координаты и свободный член?
1) Даны точки М1(0,-1,3) и М2(1,3,5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной к вектору 
Выбрать верный ответ:
а) 
; б) .
2) Найти угол между плоскостями и . Выбрать верный ответ:
а) 135о, б) 45о
1.7.2. Прямая. Плоскости, нормали которых не коллинеарны, 
или пересекаются, однозначно определяя прямую как линию их пересечения, что и записывается следующим образом:
Через эту прямую можно провести бесконечно много плоскостей (пучок плоскостей (1.62)), в том числе и проектирующие ее на координатные плоскости. Чтобы получить их уравнения, достаточно преобразовать (1.63), исключив из каждого уравнения по одной неизвестной и приведя их, например, к виду 
(1.63`).
Поставим задачу – провести через точку М0(х0,у0,z0) прямую, параллельную вектору `S (l, m, n) (его называют направляющим). Возьмем на искомой прямой произвольную точку М(х,у,z). Векторы и 
должны быть коллинеарны, откуда получаем канонические уравнения прямой.
(1.64) или 
(1.64`)
где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора `S. Из (1.64) легко получить уравнение прямой, проходящей через заданные точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2) (она параллельна 
)
Или (1.64``)
(Значения дробей в (1.64) равны для каждой точки прямой и могут быть обозначены через t, где t
R. Это позволяет ввести параметрические уравнения прямой
Каждому значению параметра t соответствует набор координат х, у, z точки на прямой или (иначе) - значения неизвестных, удовлетворяющих уравнениям прямой).
Используя уже известные свойства векторов и операций над ними и канонические уравнения прямой легко получить следующие формулы:
Угол между прямыми: 
(1.65)
Условие параллельности (1.66).
перпендикулярности l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) прямых.
Угол между прямой и плоскостью (легко получить, найдя угол между прямой и нормалью к плоскости, составляющий в сумме с искомым p/2)
(1.68)
Из (1.66) получаем условие параллельности Al + Bm + Cn = 0 (1.69)
и перпендикулярности (1.70) прямой и плоскости. Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых в одной плоскости легко получить из условия компланарности (1.25).
(1.71)
контрольные вопросы.
1) Каковы способы задания прямой линии в пространстве?
1) Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(4,3,0) и параллельной вектору 
Указать верный ответ:
а) 
; б) 
.
2) Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(2,-1,3) и В(2,3,3). Указать верный ответ.
а) 
; б) .
3) Найти точку пересечения прямой с плоскостью: , . Указать верный ответ:
а) (6,4,5); б) (6,-4,5).
1.7.3. Поверхности второго порядка. Если линейное уравнение в трехмерном декартовом базисе однозначно определяет плоскость, любое нелинейное уравнение, содержащее х, у, z описывает какую – то иную поверхность. Если уравнение имеет вид
Ах2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, то оно описывает поверхность второго порядка (общее уравнение поверхности второго порядка). Выбором или преобразованием декартовых координат уравнение можно максимально упростить, приведя к одной из следующих форм, описывающих соответствующую поверхность.
1. Канонические уравнения цилиндров второго порядка, образующие которых параллельны оси Oz, а направляющими служат соответствующие кривые второго порядка, лежащие в плоскости хОу:
(1.72), 
(1.73), у2 = 2рх (1.74)
эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры соответственно.
(Напомним, что цилиндрической называют поверхность, полученную перемещением прямой, называемой образующей, параллельно самой себе. Линию пересечения этой поверхности с плоскостью, перпендикулярной образующей, называют направляющей – она определяет форму поверхности).
По аналогии можно записать уравнения таких же цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси Оу и оси Oх. Направляющую можно задать, как линию пересечения поверхности цилиндра и соответствующей координатной плоскости, т.е. системой уравнений вида:
2. Уравнения конуса второго порядка с вершиной в начале координат:
(1.75)
(осями конуса служат оси Oz, Oy и Ох соответственно)
3. Каноническое уравнение эллипсоида: (1.76);
Частными случаями являются эллипсоиды вращения, например 
– поверхность, полученная вращением эллипса 
вокруг оси Оz (При
а > с эллипсоид сжат, при a х2 + у2+ z2 + = r2 – уравнение сферы радиуса r с центром в начале координат).
4. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида
(знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части – это изменяет только положение поверхности в пространстве). Частные случаи – однополостные гиперболоиды вращения, например 
– поверхность, полученная вращением гиперболы 
вокруг оси Oz (мнимой оси гиперболы).
5. Каноническое уравнение двухполостного гиперболоида
(знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части).
Частные случаи – двухполостные гиперболоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг оси Оz (действительной оси гиперболы).
6. Каноническое уравнение эллиптического параболоида
(p >0, q >0) (1.79)
7. Каноническое уравнение гиперболического параболоида
(p >0, q >0) (1.80)
(переменная z может поменяться местами с любой из переменных х и у – изменится положение поверхности в пространстве).
Отметим, что представление об особенностях (форме) этих поверхностей легко получить, рассматривая сечения этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными осям координат.
контрольные вопросы.
1) Какое множество точек в пространстве определяет уравнение ?
2) Каковы канонические уравнения цилиндров второго порядка; конуса второго порядка; эллипсоида; однополостного гиперболоида; двухполостного гиперболоида; эллиптического параболоида; гиперболического параболоида?
1) Найти центр и радиус сферы и указать верный ответ:
а) С(1,5;-2,5;2), 
; б) С(1,5;2,5;2), ;
2) Определить вид поверхности, заданной уравнениями: 
. Указать верный ответ:
а) однополостный гиперболоид; гиперболический параболоид; эллиптический параболоид; конус.
б) двухполостный гиперболоид; гиперболический параболоид; эллиптический параболоид; конус.
